专题9 一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）

这是一份专题9 一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题9 一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）
一、单选题
1．（2022·海珠模拟）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（　　）

A．(30-2x)(20-2x)=214 B．(30-x)(20-x)=30×20-214
C．(30-2x)(20-2x)=30×20-214 D．(30+2x)(20+2x)=30×20-214
2．（2022·南海模拟）若a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx＋4k=0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（　　）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3或1
3．（2022·南沙模拟）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（2022·花都模拟）已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2-6x+m+6=0的两个实数根，则m的值是（　　）
A．m=2 B．m=9 C．m=3或m=9 D．m=2或m=3
5．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2022·罗湖模拟）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）

A．32×20-32x-20x=100 B．(32-x)(20-x)+x2=100
C．32x+20x=100+x2 D．(32-x)(20-x)=100
7．（2022·新会模拟）已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-3)x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k>94 B．k<94且k≠0
C．k>-94且k≠0 D．k<-94
8．（2022·潮南模拟）关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤14或a≠-2 B．a≤14
C．a<14或a≠-2 D．a<14
9．（2022·中山模拟）已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2+2x-1=0 有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 且 m≠1 B．m≥0
C．m≥0 且 m≠1 D．m<0 且 m≠1
10．（2022·越秀模拟）根据统计数据提示：广州市2019年地区生产总值为2.36万亿元，2021年地区生产总值为2.82万亿元如果广州市地区生产总值的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是（　　）
A．2.36（l + x） = 2.82 B．2.36（1 + 2x） = 2.82
C．2.36(1+2x)2=2.82 D．2.36（1+x）2 = 2.82
二、填空题
11．（2022·深圳）已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
12．（2022·番禺模拟）已知一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是反比例函数y=mx上的两个点，若x1>x2>0，则y1　 　y2（填“<”或“>”或“=”）．
13．（2022·广州模拟）点A是反比例函数y=kx(x>0)上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2-4x+k=0的根的情况为　 　．
14．（2022·从化模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣m＝0有两个相等的实数根，则m=　 　．
15．（2022·深圳模拟）关于x的一元二次方程 x2+6x-a=0 的一个根是3，则另一个根是　 　．
16．（2022·珠海模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2＝　 　．
17．（2022·坪山模拟）若菱形的两条对角线分别是方程x2-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为　 　．
18．（2022·龙岗模拟）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k＝　 　．
19．（）某种水果的价格经过两次降价后由20元调至12元，若设该水果平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　 　.
20．（）已知x1，x2是一元二次方程x2-4x-7=0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　.
三、计算题
21．（2022九下·南雄模拟）解下列方程：
（1）x2﹣x＝2（x﹣1）
（2）x2＋6x﹣1＝0
22．（2020·深圳模拟）解方程： 12x2﹣x﹣1＝0．
23．（2020八上·湛江月考）已知（2x＋1）2－49＝1，求x的值．
24．（2021九上·海珠期末）解方程：
（1）x2＝4x；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
25．（2021九上·揭东期末）解方程：3x2-x(x+6)=20．
四、综合题
26．（2022八下·罗湖期末）2022年2月4日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届冬奥会所不同的是，这届冬奥会大家都被吉祥物—冰墩墩吸引了，导致市场大量缺货，为满足市场需求，温州某玩具加工厂打算紧急招聘70名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，根据市场行情，普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，为保证全部售出，每生产1件升级款就将升级款的售价降低5元（每件利润不低于150元），设每天生产升级款x件．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人）
每天的产量（件）
每件可获得的利润（元）
普通款冰墩墩
　 　
　 　
　 　
升级款冰墩墩
x
x
　 　
（2）当x取多少时，工厂每日的利润可达到17200元？
27．（2022·濠江模拟）已知|a+b-22|与c-2互为相反数，且a，b为一元二次方程x2+mx+c=0的两个实数根．
（1）求c、m的值；
（2）试判断以a、b、c为三边的三角形的形状，并说明理由．
28．（2022·广州模拟）老张与老李购买了相同数量的种兔．
（1）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔数不超过老李养兔数的23．一年前老张至少买了多少只种兔？
（2）两年后，老张的养兔数比买入种兔数增加了69%．若这两年兔子数目的增长率不变，则每年的增长率为多少？
29．（2022·南海模拟）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
30．（2022·南海模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为（30×20-214）米，根据题意得，
(30-2x)(20-2x)=30×20-214
故答案为：C．
【分析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积为（30×20-214）米，再利用矩形的面积公式可得(30-2x)(20-2x)=30×20-214。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2-2kx＋4k=0的两个实数根，
∴Δ=(-2k)2-4×1×4k
=4k2-16k≥0
a＋b＝2k，ab＝4k
a2+b2
=(a+b)2-2ab
=(2k)2-2×4k
=4k2-8k
∴4k2-8k＝12
解得k1=-1，k2=3
当k1=-1时，
Δ=4k2-16k
=4×(-1)2-16×(-1)
=20>0
∴k1=-1符合题意，
当k2=3时，
Δ=4k2-16k
=4×32-16×3
=-12<0
∴k2=3不符合题意，应舍去，
综上，k的值是﹣1．
故答案为：A

【分析】利用根与系数的关系求出a＋b＝2k，ab＝4k，再利用a2＋b2＝12，可得4k2-8k＝12，求出k的值即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由已知16m+2＜0，解得m<-18，即方程为二次方程，
判别式Δ=[-(2m+1)]2-4m(m-1)=4m2+4m+1-4m2+4m=8m+1，
∵m<-18，
∴8m+1<0，
∴关于x的方程没有实数根；
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：a+b=6，ab=m+6，
∵a，b，4是等腰三角形的三边长，
①当4为底时，则a、b为腰，
∴a=b，
又∵a，b是关于x的方程x2-6x+m+6=0的两个实数根，
则a+b=6，
∴a=b=3，
∴m+6=ab=9，
∴m=3；
②当4为腰，则a为腰，b为底或a为底，b为腰，
当a为腰，b为底时，
则a=4，b=2，
m=ab-6=8-6=2；
当a为底，b为腰时，
则a=2，b=4，
同理得出：m=2，
综上，m=2 或m=3．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当4为底时，则a、b为腰，②当4为腰，则a为腰，b为底或a为底，b为腰，再分别利用一元二次方程的根求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则BA＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即：t2+t﹣12＝0，
∴（t+4）（t﹣3）＝0，
由于t＞0，
∴t+4＞0，
∴t﹣3＝0，
∴t＝3．
∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．
故答案为：C．

【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，(这是做题关键)
根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6
6．【答案】C
【解析】【解答】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．

根据题意可得：32x+20x=100+x2．
故答案为：C．

【分析】先将图形利用平移进行转化，可得两个长方形的面积之和=小路的面积+两个长方形重合的面积，据此可列方程。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题可得：k≠0[-(2k-3)]2-4k(k-2)>0，
解得：k<94且k≠0，
故答案为：B．

【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式组求出即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵(a+2)x2-3x+1=0为一元二次方程，
∴a+2≠0，解得a≠-2，
∵关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根，
∴Δ=(-3)2-4×(a+2)×1≥0，即a+2≤94，解得a≤14，
综上所述，a的取值范围是a≤14且a≠-2，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 (m-1)x2+2x-1=0 有实数根，
∴Δ=b2-4ac=4+4(m-1)≥0 ，
解得 m≥0 ．
又∵(m－1)x2＋2x-1＝0是一元二次方程，
∴m－1≠0，即m≠1，
综合知，m的取值范围是m≥0且m≠1，
故答案为：C．

【分析】利用一元二次方程根的判别式可得Δ=b2-4ac=4+4(m-1)≥0，再求出m的取值范围即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：依题意得：2.36（1+x）2 = 2.82，
故答案为：D．

【分析】设年平均增长率为x，再根据题意直接列出方程2.36（1+x）2 = 2.82即可。
11．【答案】9
【解析】【解答】解：根据题意得△=62-4m=0，
解得m=9．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
12．【答案】<
【解析】【解答】解：∵x2-4x+m=0有两个相等的根，
∴Δ=42-4m=0，解得m=4，
将m=4代入反比例函数中得：y=4x，该反比例函数递减，即y随x的增大而减小；
将A、B两点坐标代入可得x1y1=x2y2=4，
∵x1>x2>0，
∴y1＜y2，
故答案为：<．

【分析】根据一元二次方程的判别式可得m的值，再根据反比例函数的增减性进行比较。
13．【答案】无实数根或有两个不相等的实数根
【解析】【解答】解：由题意得：S△AOB=12|k|=8，
∴k=±16，
当k=16时，则一元二次方程为x2-4x+16=0，
∴Δ=16-4×16=-48<0，
∴方程无实数根；
当k=-16时，则一元二次方程为x2-4x-16=0，
∴Δ=16+4×16=80>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案为无实数根或有两个不相等的实数根．

【分析】先求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
14．【答案】5
【解析】【解答】设抛物线解析式为 y=-(x-h)2+k ，
∵顶点为（1，5），
∴y=-(x-1)2+5=-x2+2x+4 ，
∴-x2+bx+c-m=0 可化为 -x2+2x+4-m=0 ，
∵有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4-4×(-1)×(4-m)=0 ，
∴4+16-4m=0 ，
∴m=5 ；
故答案是5．

【分析】先利用抛物线的顶点坐标求出二次函数的解析式，可得-x2+2x+4-m=0，再利用一元二次方程根的判别式可得△=b2-4ac=4-4×(-1)×(4-m)=0，再求出m的值即可。
15．【答案】﹣9
【解析】【解答】方法一：
解：设方程的另一个根是 x1 ，
由题意得： x1+3=-6 ，
解得： x1=-9 ，
方法二：
解： ∵ 关于x的一元二次方程 x2+6x-a=0 的一个根是3，
∴9+18-a=0 ，
解得： a=27 ，即 x2+6x-27=0 ，
则 (x+9)(x-3)=0 ，
解得： x1=-9 ， x2=3 ，
所以另一个根为-9．
故答案为：-9．

【分析】将x=3代入一元二次方程可得a的值，再利用一元二次方程的解法求出解即可。
16．【答案】4
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
则x1+x2＝-ba=--41=4 ．
故答案为4．

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝-ba=--41=4。
17．【答案】5
【解析】【解答】解：∵x2-14x+48=0，
∴x=6或x=8，
∴该菱形的对角线长分别为6或8，
∴由勾股定理可知：菱形的边长为32+42=5，
故答案为：5.
【分析】先利用十字相乘法求出x=6或x=8，再利用菱形的性质和勾股定理可得菱形的边长。
18．【答案】1
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的根，
∴Δ=b2-4ac=4-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1．

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程Δ=b2-4ac=4-4k=0求解即可。
19．【答案】20（1-x）2=12
【解析】【解答】解：设该水果平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：20（1-x）2=12.
【分析】设该水果平均每次降价的百分率为x，得出该种水果第一次降价后的价格为20（1-x），第二次降价后的价格为20（1-x）2，再根据经过两次降价后由20元调至12元，列出方程即可.
20．【答案】2
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4x-7=0的两个实数根，
∴x1+x2=4，x·x2=-7，
∴ x12+4x1x2+x22=（x1+x2）2+2x1x2=42+2×（-7）=2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=4，x·x2=-7，再把原式化为（x1+x2）2+2x1x2的形式，代入进行计算，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：x2﹣x＝2（x﹣1），
移项得：x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
整理得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
所以：x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2
（2）解：x2+6x﹣1＝0，
移项得：x2+6x＝1，
配方得：x2+6x+9＝10，
所以：（x+3）2＝10，
x+3＝±10，
所以x1＝-3+10，x2＝-3-10
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可.
22．【答案】解：∵12 x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x＝1± 3 ；
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
23．【答案】解：移项得： (2x+1)2=50 ，所以有： 2x+1=±50 ，可得 x=±50-12 ，
∴原方程的解为： x=52-12 或者 x=-52-12 ．
【解析】【分析】应用配方法可以得到方程的解．
24．【答案】（1）解：∵x2=4x，
∴x2-4x=0，
则x（x-4）=0，
∴x=0或x-4=0，
解得x1=0，x2=4；
（2）解：∵x（x-2）=3x-6，
∴x（x-2）-3（x-2）=0，
则（x-2）（x-3）=0，
∴x-2=0或x-3=0，
解得x1=2，x2=3．
【解析】【分析】（1）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
25．【答案】解：整理，得：x2-3x-10=0，
∴（x+2）（x-5）=0，
则x+2=0或x-5=0，
解得x1=-2，x2=5．
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
26．【答案】（1）（70-x）；2（70-x）；140；350
（2）解：由题意得：140×2(70-x)+(350-5x)x=17200，整理得：x2-14x-480=0，解得：x1=30，x2=-16（不合题意，舍去）．当x=30时，350-5x=350-5×30=200>150，符合题意．答：当x取30时，工厂每日的利润可达到17200元．
【解析】【解答】（1）解：∵普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，且每天生产升级款x件，∴安排x人生产升级款冰墩墩，安排(70-x)人生产普通款冰墩墩，∴每天生产2(70-x)件普通款冰墩墩．又∵普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，填表如下：
产品种类
每天工人数（人）
每天的产量（件）
每件可获得的利润（元）
普通款冰墩墩
70-x
2(70-x)
140
升级款冰墩墩
x
x
350
故答案为：（70-x；2（70-x；140；350；

【分析】安排x人生产升级款冰墩墩，安排(70-x)人生产普通款冰墩墩；每天可以生产2件普通款：每天生产2(70-x)件普通款冰墩墩； 普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元 。
27．【答案】（1）解：∵|a+b-22|与c-2互为相反数，
∴|a+b-22|+c-2=0
∴a+b=22，c=2
∵a，b为一元二次方程x2+mx+c=0的两个实数根
∴由根与系数的关系可知a+b=-m，
解得，m=-22；
（2）解：等腰直角三角形，理由如下：
将m=-22，c=2代入 x2+mx+c=0 ，
即x2-22x+2=0
解得，x1=x2=2，即a=b=2
∵a2+b2=4，c2=4，
∴a2+b2=c2
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，
又∵a=b=2，
∴以a、b、c为三边的三角形是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0的性质求出a+b=22，c=2，再利用一元二次方程根与系数的关系可得a+b=-m，从而得解；
（2）先求出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理可得以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，再结合a=b=2可得以a、b、c为三边的三角形是等腰直角三角形。
28．【答案】（1）解：设一年前老张买了x只种兔，由题意得：
x+2≤23(2x-1)，
解得：x≥8，
答：一年前老张至少买了8只种兔．
（2）解：设每年的增长率为m，由题意得：
(1+m)2=1+69％，
解得：m1=0.3，m2=-2.3（不符合题意，舍去）；
答：每年的增长率为30％．
【解析】【分析】（1）设一年前老张买了x只种兔，根据题意列出不等式x+2≤23(2x-1)求解即可；
（2）设每年的增长率为m，根据题意列出方程(1+m)2=1+69％求解即可。
29．【答案】（1）解：（270﹣210）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）解：设每件商品应降价x元，
由题意，得 （270﹣x﹣210）（30+3x）＝3600，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式（270﹣210）×30求解即可；
（2）设每件商品应降价x元，根据题意列出方程（270﹣x﹣210）（30+3x）＝3600，再求解即可。
30．【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（−3）2−4（m＋1）＞0，
解得m＜54；
（2）解：当m＝−1时，方程变形为x2−3x＝0，
x（x−3）＝0，
x＝0或x−3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将m=-1代入方程，再利用因式分解法求出一元二次方程即可