备战2023数学新中考二轮复习重难突破（广东专用）专题09 反比例函数

重点分析

一、反比例函数的概念

1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．

2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围

自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．

二、反比例函数的图象和性质

1．反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．

当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．

2．反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．

3．注意

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．

（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．

三、反比例函数解析式的确定

1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．

2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；

（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；

（3）解这个方程求出待定系数k；

（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．

四、反比例函数中|k|的几何意义

1．反比例函数图象中有关图形的面积

2．涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．

（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；

（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；

（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．

五、反比例函数与一次函数的综合

1．涉及自变量取值范围型

当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．

2．求一次函数与反比例函数的交点坐标

（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；

（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．

六、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围

难点解读

考点1：反比例函数的概念

技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．

考点2：反比例函数的图象与性质

技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．

考点3反比例函数的应用

技巧归纳：先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．

真题演练

1．（2021·广东中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（    ）

A． B． C． D．5

2．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）将二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图象的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（    ）

A．若，则抛物线的函数表达式为：

B．

C．不等式的解集是

D．对于函数，当时，随的增大而减小

4．（2021·广东深圳市·九年级二模）二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函数y＝ax＋b和y＝的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④当时，，其中正确的是（    ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

6．（2021·广东佛山市·九年级一模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．下列结论中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·广东佛山市·九年级一模）二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．＞4ac

B．abc＜0

C．a﹣c＜0

D．a+bm≥a﹣b （m为任意实数）

8．（2021·广东广州市·九年级一模）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点、点．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

9．（2021·广东中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．5

10．（2021·广东深圳市·九年级二模）二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②a＋c＞b；③4a＋c＞0；④a＋b≤m（am＋b）（m为实数）．正确的个数是（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

11．（2021·广东河市·九年级一模）函数的图像，如图所示，下列说法正确的有（    ）个

①；②；③；④当或时，该函数y随x增大而增大；⑤

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

12．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级一模）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②a﹣b＋c＞0；③当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；④5a＋c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

13．（2021·广东广州市·九年级一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（    ）

A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2

14．（2021·广东九年级一模）如图,二次函数经过点和点,与轴交于点．

求抛物线的解析式;

为轴右侧抛物线上一点,是否存在点,使若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．

15．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图1，已知抛物线的顶点坐标为（－1，）与y轴交于A（0，3），交直线：x＝－2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，E为直线上位于点B下方一动点，连接DE、BD、AD，若，求点E的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，请求出P点的坐标；

16．（2021·广东韶关市·九年级一模）已知抛物线经过点，与轴交于点．

求这条抛物线的解析式；

如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2021·广东九年级一模）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；

（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．

18．（2021·广东广州市·九年级二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在直线上，，且．

（1）若点的坐标为，求点的坐标；

（2）若的面积比面积大12，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点在的图象上，点在的图象上，求与的较大值（用表示），问有无最小值？若有，请求出该值；若无，请说明理由．

19．（2021·广州大学附属中学九年级一模）某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为（且为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：

（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；

（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？