课后素养落实(十六)　组合与组合数公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．C＋C＝(　　)

A．45　   B．55

C．65　   D．以上都不对

B　[因为C＋C＝C＋C＝55，故选B．]

2．组合数C(n>r≥1，n，r∈N)恒等于(　　)

A．C　　   B．(n＋1)(r＋1)C

C．nrC　　   D．C

D　[C＝·＝＝C．]

3．若C＝28，则m等于(　　)

A．9　    B．8　    C．7　    D．6

B　[∵C＝28，∴＝28，化为：(m－8)(m＋7)＝0．解得m＝8．]

4．已知C＝C，则m等于(　　)

A．1　　    B．4    C．1或3　　    D．3或4

C　[由C＝C，得m＝2m－1或m＋2m－1＝8，得m＝1或m＝3．]

5．(多选题)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是(　　)

A．(n＋1)A＝A   B．mC＝nC

C．C＝   D．A＝A

ABD　[对于A，(n＋1)A＝(n＋1)n(n－1)·…·(n－m＋1)＝A，故A正确；

对于B，C＝，C＝，

所以C＝＝×＝×C，

所以mC＝nC，故B正确；

对于C，C＝＝，故C错误；

对于D，A＝×n×(n－1)×…×(n－m)＝n×(n－1)×…×(n－m＋1)＝A，故D正确；故选ABD．]

二、填空题

6．C＋C＋C＋C＋C＋C＝________．

32　[原式＝2C＋2C＋2C＝2(1＋5＋10)＝32．]

7．若C＝C，则C＝________．

190　[∵C＝C，∴13＝n－7，∴n＝20．

∴C＝C＝190．]

8．方程：C＋C＝C－C的解集为________．

{x|x＝2}　[由组合数公式的性质可知

解得x＝1或x＝2，代入方程检验得x＝2满足方程，所以原方程的解集为{x|x＝2}．]

三、解答题

9．解不等式－<．

[解]　由题意，得n≥5且n∈N*，∵－<，

∴－＜

．

∵n(n－1)(n－2)＞0，

∴化简得，n2－11n－12<0，解得－1<n<12．

结合n的取值范围得n＝5,6,7,8,9,10,11．

∴不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}．

10．求式子－＝中的x．

[解]　原式可化为－＝，

∵0≤x≤5，

∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．

11．(多选题)若C>3C，则m的取值可能是(　　)

A．6　　    B．7　　    C．8　　    D．9

BC　[由题意知0≤m－1≤8，且0≤m≤8，则有1≤m≤8．

由C>3C得＞3×，

变形得m>27－3m，即m>，

综上得<m≤8．又m∈N*，则m＝7或8．]

12．(多选题)对于m，n∈N*关于下列排列组合数，结论正确的是(　　)

A．C＝C   B．C＝C＋C

C．A＝CA   D．A＝(m＋1)A

ABC　[根据组合数的性质与组合数的计算公式C＝，C＝＝，故A正确；

因为C＝，

C＋C＝＋＝，

所以C＝C＋C，故B正确；

因为A＝，CA＝×m！＝，所以A＝CA，故C正确；

因为A＝，(m＋1)A＝(m＋1)×≠，故D不正确，

故选ABC．]

13．若C∶C∶C＝∶1∶1，则m＝________，n＝________．

2　5　[∵C∶C＝1∶1，

∴(m＋1)＋(m＋2)＝n＋2，∴2m＋1＝n，①

又C∶C＝3∶5，

∴×＝，

∴5(m＋1)(m＋2)＝3[(n－m＋1)(n－m＋2)]，②

联立①②得m＝2，n＝5．]

14．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．

7 315　[原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝7 315．]

15．规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．

(1)求C的值；

(2)组合数的两个性质：①C＝C；

②C＋C＝C是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．

[解]　(1)C＝

＝－C＝－11 628．

(2)性质①不能推广，例如当x＝时，

C有意义，但C无意义；

性质②能推广，它的推广形式是

C＋C＝C，x∈R，m为正整数．

证明：当m＝1时，有C＋C＝x＋1＝C；

当m≥2时，C＋C

＝＋

＝

＝＝C．

综上，性质②的推广得证．