选择性必修第二册8.1条件概率学案

这是一份选择性必修第二册8.1条件概率学案，共13页。学案主要包含了全概率公式，多个事件的全概率问题，贝叶斯公式*等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)．
导语
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．
设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5，经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
一、全概率公式
问题 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,3)＝eq \f(8,15).
因此，取得红球的概率为eq \f(8,15).
知识梳理
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和eq \i\su(i＝1,n,A)i＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．这个公式称为全概率公式(ttal prbability frmula)．
注意点：
如图所示，B发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(BAi)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和．
例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq \f(3,5)，乙班中女生占eq \f(1,3).求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解 如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝eq \f(5,8)，P(A2)＝eq \f(3,8)，
且P(B|A1)＝eq \f(3,5)，P(B|A2)＝eq \f(1,3).
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq \f(5,8)×eq \f(3,5)＋eq \f(3,8)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与eq \x\t(A))．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟踪训练1 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
解 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝eq \f(30,50)＝eq \f(3,5)，P(B)＝eq \f(20,50)＝eq \f(2,5)，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq \f(7,125).
(2)P(A)＝eq \f(30×100,30×100＋20×120)＝eq \f(5,9)，
P(B)＝eq \f(20×120,30×100＋20×120)＝eq \f(4,9)，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq \f(5,9)×eq \f(6,100)＋eq \f(4,9)×eq \f(5,100)＝eq \f(1,18).
二、多个事件的全概率问题
例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
解 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)
＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)(A|B3)
＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03
＝0.012 5.因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5.
延伸探究 假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品的百分率和三种产品的优质率的信息如下表所示：
在生产的产品中任取一件，求取到的产品是优质品的概率．
解 用A1，A2，A3表示甲、乙、丙产品，B表示优质品，
由已知得P(A1)＝60%，P(A2)＝20%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝85%，P(B|A3)＝80%.
因此由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝60%×90%＋20%×85%＋20%×80%＝54%＋17%＋16%＝87%.
反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解 (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为Ceq \\al(2,8)＝eq \f(8×7,2)＝28，
这2个产品都是次品的事件数为Ceq \\al(2,3)＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为eq \f(3,28).
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,8))＝eq \f(5,14)，P(B2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,3),C\\al(2,8))＝eq \f(15,28)，P(B3)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,8))＝eq \f(3,28)，
P(A|B1)＝eq \f(2,3)，P(A|B2)＝eq \f(5,9)，P(A|B3)＝eq \f(4,9)，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq \f(5,14)×eq \f(2,3)＋eq \f(15,28)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,28)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,12).
三、贝叶斯公式*
知识梳理
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)·P(Ai)，因此P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)，再由全概率公式得P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,\i\su(j＝1,n,P)AjPB|Aj).这个公式称为贝叶斯公式．
注意点：
(1)公式P(A1|B)＝eq \f(PA1B,PB)＝eq \f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．
例3 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？
(2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？
解 (1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则
P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)
＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)
＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.
(2)P(L1|C)＝eq \f(PC|L1×PL1,PC)＝eq \f(0.2×0.5,0.36)≈0.28.
所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28.
反思感悟 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确、高效．
跟踪训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
解 设B表示事件“中途停车修理”，A1表示事件“经过的是货车”，A2表示事件“经过的是客车”，
则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝eq \f(PA1PB|A1,PA1PB|A1＋PA2PB|A2)
＝eq \f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8.
1．知识清单：
(1)全概率公式．
(2)贝叶斯公式．
2．方法归纳：化整为零、转化化归．
3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．
1．已知P(BA)＝0.4，P(Beq \x\t(A))＝0.2，则P(B)的值为( )
A．0.08 B．0.8
C．0.6 D．0.5
答案 C
解析 因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，
P(Beq \x\t(A))＝P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))
＝P(BA)＋P(Beq \x\t(A))＝0.4＋0.2＝0.6.
2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为( )
A．0.65 B．0.075
C．0.145 D．0
答案 C
解析 设A1表示事件“他乘火车来”，A2表示事件“他乘船来”，A3表示事件“他乘汽车来”，A4表示事件“他乘飞机来”，B表示事件“他迟到”．
则A1，A2，A3，A4构成一个样本空间，由全概率公式得P(B)＝eq \i\su(i＝1,4,P)(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
3．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A.eq \f(b,a＋b＋c) B.eq \f(b,a＋c)
C.eq \f(b,a＋b) D.eq \f(b＋c,a＋b＋c)
答案 C
解析 设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋eq \x\t(A)B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))．
由题意得P(A)＝eq \f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq \f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(a,a＋b)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(b,a＋b＋c)，所以P(B)＝eq \f(bb＋c,a＋ba＋b＋c)＋eq \f(ab,a＋ba＋b＋c)＝eq \f(b,a＋b).
4．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
答案 (1)1.47% (2)eq \f(95,294)
解析 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
(2)P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.5%×95%,1.47%)＝eq \f(95,294).
课时对点练
1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
答案 C
解析 所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A．0.012 45 B．0.057 86
C．0.026 25 D．0.028 65
答案 C
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq \f(1,2)×5%＋eq \f(1,2)×0.25%＝0.026 25.
3．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A．0.21 B．0.06
C．0.94 D．0.95
答案 D
解析 令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝eq \f(2,3)×0.96＋eq \f(1,3)×0.93＝0.95.
4．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为eq \f(1,10)，eq \f(1,15)，eq \f(1,20)，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
答案 A
解析 以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝eq \f(5,10)，P(A2)＝eq \f(3,10)，P(A3)＝eq \f(2,10)，P(B|A1)＝eq \f(1,10)，
P(B|A2)＝eq \f(1,15)，P(B|A3)＝eq \f(1,20)，
则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝eq \f(5,10)×eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,15)＋eq \f(2,10)×eq \f(1,20)＝0.08.
5．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,10) D.eq \f(7,10)
答案 C
解析 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(eq \x\t(A)B)
＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))，
由题设易知P(A)＝eq \f(3,10)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(7,10)，
P(B|A)＝eq \f(2,9)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,3)，
于是P(B)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(7,10)×eq \f(1,3)＝eq \f(3,10).
6．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(21,100) C.eq \f(7,30) D.eq \f(29,90)
答案 D
解析 设A表示事件“先取到的是女生表”，Bi表示事件“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)
＝eq \f(1,3)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,3)×eq \f(7,15)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＝eq \f(29,90).
7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
答案 64%
解析 记A为事件“利率下调”，那么eq \x\t(A)即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．
依题设知P(A)＝60%，P(eq \x\t(A))＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|eq \x\t(A))＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(eq \x\t(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
8．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
答案 eq \f(N2－N＋1,N2N－1)
解析 设A表示事件“第一次取到1号球”，则eq \x\t(A)表示事件“第一次取到的是非1号球”；B表示事件“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝eq \f(1,N)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(N－1,N)，且P(B|A)＝eq \f(1,N－1)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,N)，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq \x\t(A))P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,N－1)·eq \f(1,N)＋eq \f(1,N)·eq \f(N－1,N)＝eq \f(N2－N＋1,N2N－1).
9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，
P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
(1)P(A|B)＝eq \f(3＋1,8＋1)＝eq \f(4,9).
(2)∵P(A|eq \x\t(B))＝eq \f(3,8＋1)＝eq \f(1,3)，
∴P(A)＝P(AB)＋P(Aeq \x\t(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq \x\t(B))P(eq \x\t(B))＝eq \f(4,9)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(11,27).
10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为eq \f(1,7)，eq \f(1,5)，eq \f(1,4).现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
解 设Ai＝“第i个地区”，i＝1,2,3；B＝“感染此病”，
∴P(A1)＝eq \f(1,3)，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(A3)＝eq \f(1,3)，
∴P(B|A1)＝eq \f(1,7)，P(B|A2)＝eq \f(1,5)，P(B|A3)＝eq \f(1,4).
(1)P(B)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq \f(83,420)≈0.198.
(2)P(A2|B)＝eq \f(PA2PB|A2,\i\su(i＝1,3,P)AiPB|Ai)＝eq \f(28,83)≈0.337.
11．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( )
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
答案 A
解析 设A表示事件“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B表示事件“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R表示事件“第二次取出的球是红球”，
则P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(3,10)，P(R|A)＝eq \f(1,2)，
P(R|B)＝eq \f(4,5)，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝eq \f(1,2)×eq \f(7,10)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,10)＝0.59.
12．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为eq \f(1,4)，不知道正确答案而猜对的概率为eq \f(1,6).现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,19) C.eq \f(11,16) D.eq \f(19,24)
答案 B
解析 设A事件为“不知道答案”，B事件为“猜对此题”．则P(A)＝eq \f(1,4)，P(B|A)＝eq \f(1,6)，P(B|eq \x\t(A))＝1.
所以所求概率为P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\t(A)PB|\x\t(A))
＝eq \f(\f(1,4)×\f(1,6),\f(1,4)×\f(1,6)＋\f(3,4)×1)
＝eq \f(1,19).
13．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球并使用，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为( )
A.eq \f(441,3 025) B.eq \f(193,220) C.eq \f(1,11) D.eq \f(7,60)
答案 A
解析 设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝eq \i\su(i＝0,3,P)(Ai)P(B|Ai)
＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(3,9),C\\al(3,12)C\\al(3,12))＋eq \f(C\\al(1,9)C\\al(2,3)C\\al(3,8),C\\al(3,12)C\\al(3,12))＋eq \f(C\\al(2,9)C\\al(1,3)C\\al(3,7),C\\al(3,12)C\\al(3,12))＋eq \f(C\\al(3,9)C\\al(3,6),C\\al(3,12)C\\al(3,12))＝eq \f(441,3 025).
14．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为eq \f(2,5)，传送“－”时失真的概率为eq \f(1,3)，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．
答案 eq \f(3,4)
解析 设A＝收到“·”，B＝发出“·”，
由贝叶斯公式得
P(B|A)＝eq \f(PBPA|B,PBPA|B＋P\x\t(B)PA|\x\t(B))
＝eq \f(\f(5,8)×\f(3,5),\f(5,8)×\f(3,5)＋\f(3,8)×\f(1,3))＝eq \f(3,4).
15．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是eq \f(1,2)，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为________；
(2)若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为________．
答案 (1)eq \f(7,15) (2)Pn＝－eq \f(4,15)Pn－1＋eq \f(3,5)
解析 (1)P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝eq \f(7,15).
(2)Pn＝Pn－1×eq \f(1,3)＋(1－Pn－1)×eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)Pn－1＋eq \f(3,5).
16．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(0.2×0.95,0.86)＝eq \f(19,86)，
P(B2|A)＝eq \f(PB2PA|B2,PA)＝eq \f(0.3×0.9,0.86)＝eq \f(27,86)，
P(B3|A)＝eq \f(PB3PA|B3,PA)＝eq \f(0.5×0.8,0.86)＝eq \f(40,86).
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
产品种类
甲
乙
丙
百分率
60%
20%
20%
优质率
90%
85%
80%