8.1.2　全概率公式

从a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不放回．显然，第一次摸到红球的概率为，那么第二次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？

知识点　全概率公式

一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，这个公式称为全概率公式．

1．(多选题)下列公式正确的是(　　)

A．P(A)＝P(BA)＋P(B)

B．P(B)＝P(BA)＋P(B)

C．P(A)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

D．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

BD　[由互斥事件概率的加法公式可知选项B正确，由全概率公式可知选项D正确．]

2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．

0.868　[设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，

Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2．

由题意P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，

P(B|A2)＝0.88，

由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．]

类型1　全概率公式的简单应用

【例1】　(1)已知P()＝0.4，P(|A)＝0.6，求P(AB)．

(2)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.4，P(B|)＝0.1，求P(B)和P(A|B)．

 [解]　(1)因为P()＝0.4，所以P(A)＝0.6，P(A)＝P(A)P(|A)＝0.6×0.6＝0.36，

P(AB)＝P(A)－P(A)＝0.6－0.36＝0.24．

(2)由题意可知，P()＝1－0.8＝0.2，所以

P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34，

P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.4＝0.32，

所以P(A|B)＝＝＝．

解决此类问题，要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系：

(1)P(A)＝P(AB)＋P(A)；

(2)条件概率公式和乘法公式：P(B|A)＝，P(AB)＝P(A)P(B|A)．

(3)全概率公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．

1．已知P()＝0.9，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.4，求P(B)，P(A|B)．

[解]　由题意可得P(A)＝1－P()＝0.1，

P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42．

P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.1×0.6＝0.06，

所以P(A|B)＝＝＝．

类型2　全概率公式的实际应用

【例2】　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7．飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中， 飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．

[解]　设A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被i人击中}，i＝1,2,3，则A＝B1A＋B2A＋B3A．

由全概率公式得：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)．

依题意，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．

设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1,2,3．

P(B1)＝P(H1 ∪H2∪ H3)，

P(B2)＝P(H1H2∪H2H3∪H1H3)，

P(B3)＝P(H1H2H3)，

将数据代入计算得P(B1)＝0.36；P(B2)＝0.41；P(B3)＝0.14．

于是P(A)＝P(B1)P(A |B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)

＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1＝0.458．

即飞机被击落的概率为0.458．

对全概率公式的理解

某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i＝1,2，…，n)所引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式． 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．

2．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50%, 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

[解]　设事件 B 为“任取一件为次品”，

事件Ai为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3．

A1∪A2∪A3＝Ω，AiAj＝∅，i，j＝1,2,3．

由全概率公式得

P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．

P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2，

P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01，

故P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013．

类型3　全概率公式的综合应用

【例3】　盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球)．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．

[解]　设A表示第二次取出3个球均为新球，Bi为第一次取出3球中有i个新球，i＝0,1,2,3，

P(B0)＝＝，P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，

P(A|B0)＝＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，P(A|B3)＝＝，

所以P(A)＝(Bi)P(A|Bi)≈0.145 8．

应用全概率公式计算事件的概率时，应注意：

1要把所求概率的事件分解为若干个互斥的事件，然后利用互斥事件的性质计算概率；

2题目没有给出明确概率的大小时，要结合排列组合知识和古典概型计算各事件的概率.

3注意乘法公式和全概率公式的区别：乘法公式是求“几个事件发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率.

3．有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率．

[解]　记事件Ai：从甲袋中取出的2个球有i个白球，其中i＝0,1,2，

记事件B：从乙袋中取到的一球为白球，

则P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，

P(B|A0)＝＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，

由全概率公式可得P(B)＝P(A0)·P(B|A0)＋P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＋×＝．

1．若P(B)＝0.3，P(B)＝0.1，则P(BA)＝(　　)

A．0.1    B．0.2    C．0.3    D．0.4

B　[P(BA)＝P(B)－P(B)＝0.3－0.1＝0.2．]

2．掷两颗骰子， 已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[设事件A为“两颗点数之和为7”，事件B为“一颗点数为1”．

两颗点数之和为7的种数为6，其中有一颗为1点的种数为2，

故所求概率为P＝＝．]

3．一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，第二次取到白球的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}，

因为B＝AB∪B且AB与B互斥，所以

P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝．]

4．一批零件100个，其中10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________．

　[记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3) ＝ P(B1)·P(B2|B1)P(A3|B1B2)＝××＝．]

5．甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球．则从乙箱中取出白球的概率为________．

　[设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”，

P(A)＝，P()＝，P(B|)＝，P(B|A)＝，

利用全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．条件概率与全概率公式是什么关系？

[提示]　由条件概率P(B|A)＝―→概率的乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)，

因为B⊆Ω，所以有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．

2．应用全概率公式解题的步骤是什么？

[提示]　第一步：用字母表示各相关事件；

第二步：写出各相关事件的概率；

第三步：把所求概率的事件分解为互斥的事件；

第四步：代入全概率公式计算．