课后素养落实(十二)　分类计数原理与分步计数原理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有(　　)

A．4种　    B．5种　    C．6种　    D．7种

A　[分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法．即1和4,2和3两种方法．

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法．即2和4,3和3两种方法．

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．

所以不同的分法共有2＋2＝4种．]

2．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同的值的个数为(　　)

A．2　    B．4　    C．8　    D．15

D　[x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，从x中选一个，从y中选一个，共有4×4＝16种，其中3×8＝4×6，故xy可表示不同的值的个数为16－1＝15个．]

3．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24　    B．18　    C．12　    D．9

B　[由题意可知E→F最短路径有6种走法，F→G最短路径有3种走法，由分步计数原理知，最短路径共6×3＝18种走法．]

4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)

A．40　    B．16　    C．13　    D．10

C　[根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得a上任一点与直线b确定一平面，共5个；b上任一点与直线a确定一平面，共8个，由分类计数原理得共有5＋8＝13个．]

5．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则晓芳不同的选择穿衣服的方式有(　　)

A．24种　    B．14种　    C．10种　    D．9种

B　[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类计数原理知共有12＋2＝14种不同穿衣服的方式．]

二、填空题

6．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，则集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则单元素集C的可能情况有________种．

7　[单元素集C可能为{0}，{3}，{4}，{1}，{2}，{7}，{8}共7种．]

7．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

2 880　[分两步安排这8名运动员．

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，

共有4×3×2＝24种方法；

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，

共有5×4×3×2×1＝120种方法．

所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880种．]

8．若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个．

15　[将满足条件x，y∈N*，且x＋y≤6的x的值进行分类：

当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个；

当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个；

当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个；

当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个；

当x＝5时，y可取的值为1，共1个．

即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个，

由分类计数原理得，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．]

三、解答题

9．某校高二共有三个班，各班人数如下表．

(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？

[解]　(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：

第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；

第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；

第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．

根据分类计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．

(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：

第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．

根据分类计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．

10．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)．(1)有多少个不同的数对？

(2)其中m>n的数对有多少个？

[解]　(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．

(2)在(1)中的25个数对中，m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3, 有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述，共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．

11．(多选题)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2,3,3,4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法可能为(　　)

A．20　    B．27　    C．32　    D．30

ABC　[东面上山的种数为：2(3＋3＋4)＝20，

西面上山的种数为：3(2＋3＋4)＝27，

南面上山的种数为：3(2＋3＋4)＝27，

北面上山的种数为：4(2＋3＋3)＝32，

故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法可能为20,27,32．]

12．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法共有(　　)

A．5种　    B．10种　    C．20种　    D．120种

B　[由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一个位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，

则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择，不妨假设排上的是水，

第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，

故总的排列方法种数有5×2×1×1×1＝10种．]

13．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数有________个，其中不同的偶函数共有________个．

18　6　[一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值．

a的取法有3种(a≠0)，b的取法有3种，c的取法有2种．

由分步计数原理知共有二次函数3×3×2＝18个．

若二次函数为偶函数，则b＝0，a的取值有3种，b只有一种，c有2种取法，共有3×1×2＝6个．]

14．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个．

17　[分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．]

15．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

[解]　从O型血的人中选1人有28种不同的选法；

从A型血的人中选1人有7种不同的选法；

从B型血的人中选1人有9种不同的选法；

从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．

(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．

(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步计数原理，

有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．