《两个基本计数原理》示范课教案【高中数学苏教版】
展开第七章 计数原理
7.1.1 两个基本计数原理
1.理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别；
2.会运用分类计数原理和分步计数原理分析和解决一些简单的问题；
3.经历实际计数问题的解决过程，建构方法并归纳抽象出两个计数原理，提升数学抽象和逻辑推理能力．
教学重点：理解分类计数原理和分步计数原理．
教学难点：在解决具体问题中，区别使用两个基本计数原理．
一、新课导入
情境：在生活中，与计数有关的问题是普遍存在的，如电话号码的编排、密码的设定、体育赛事的设计、集成电路的布线安排，以及生物遗传的可能，等等．当数值较小时，我们可以通过列举或数形图解决问题，但是，当数值较大或情况比较复杂时，计数就比较困难，今天我们就来研究这样的计数问题．
设计意图：通过设置情境，明确学习目标．
二、新知探究
问题1：如图，从甲地到乙地有条公路、条铁路，那么从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？
追问1：从甲地到乙地有几类方式？每一类分别有几种方法？
答案：从甲地到乙地有两类方式：第一类：走公路，有种不同方法；第二类：走铁路，有种不同方法．
追问2：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？
答案：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”．
追问3：从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？
答案：从甲地到乙地共有（种）不同的方法．
问题2：用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
追问1：完成这件事情有几类方式？每一类分别有几种方法？
答案：有两类方式：第一类：用大写英文字母，有种不同方法；第二类：用一个阿拉伯数字，有种不同方法．
追问2：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？
答案：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”．
追问3：总共能编出多少种不同的号码？
答案：共有（种）不同的方法．
思考：你能由前两个问题归纳出一般结论吗？
答案：完成一件事有两类不同方式，在第类方式中有种不同的方法，在第类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．
追问：如果完成一件事不只有两类“不同方式”，每一类方式中还有多种方法，那该如何计数呢？
分类计数原理：如果完成一件事，有类方式，在第类方式中有种不同的方法，在第类方式中有种不同的方法，……，在第类方式中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法．
说明：分类计数原理又称为加法原理．
归纳：分类计数原理特点
（1）各类方式之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加；
（2）要先根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数．
设计意图：通过问题、归纳、操作确认、解释说明等环节，得出分类计数原理．
问题3：如图，从甲地到乙地有条道路，从乙地到丙地有条道路，那么从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？
追问1：从甲地经乙地到丙地要分几步？每一步有几种方法？
答案：分两步：第一步：先从甲地到乙地，有种不同方法；第二步：再从乙地到丙地，有种不同方法．
追问2：“每一步”与“完成这件事”有什么关系？
答案：“每一步”都不能独立“完成这件事”．
追问3：从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？
答案：共有（种）不同的方法．
问题4：春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会．她有件不同的上衣，条不同的裤子，如果把件上衣和条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？
追问1：完成这件事要分几步？每一步有几种方法？
答案：分两步：第一步：先选上衣，有种不同方法；第二步：再选裤子，有种不同方法．
追问2：“每一步”与“完成这件事”有什么关系？
答案：“每一步”都不能独立“完成这件事”．
追问3：完成这件事，共有多少种不同的方法？
答案：共有（种）不同的方法．
思考： 你能由前面两个问题归纳出一般结论吗？
答案：完成一件事需要两个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．
追问1： “分步方法”与“完成这件事”有什么关系？
答案：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存．
追问2：如果完成一件事需要个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么如何计数呢？
分步计数原理：如果完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，……，做第步有不同的方法，
则完成这件事共有种不同的方法．
说明：分步计数原理又称为乘法原理．
归纳：分步计数原理特点：
（1）各步骤相互依存, 每步都完成才算完成此事；
（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数．
设计意图：借助具体问题，使学生理解分步乘法计数原理；通过设问，加深学生对原理的理解．
说一说：你能总结出分类计数原理和分步计数原理的区别与联系吗？
相同点：都是回答完成一件事的不同方法种数．
不同点：分类计数原理针对 “分类”问题，各类方式相互独立，每类方式中各种方法相互独立，任何一类中的任何一种方法都能单独完成这件事．分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事.
设计意图：明确两个原理的联系和区别，培养学生概括问题的能力．
三、应用举例
例1 某班共有男生名、女生名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．
（1）若学校分配给该班名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班名代表，且男、女生代表各名，则有多少种不同的选法？
分析：考虑选择分“类”还是分“步”：分类计数原理中每种方法都可以解决这件事情；分步计算原理中连续几个步骤合起来共同完成一件事情．
解：（1）选出名代表有两类方式：
第一类：从男生中选出名代表，有种不同的选法；
第二类：从女生中选出名代表，有种不同的选法．
根据分类计数原理，共有不同的选法种数是．
（2）选出男、女生代表各名，可以分成两个步骤完成：
第一步：选名男生代表，有种不同的选法；
第二步：选名女生代表，有种不同的选法．
根据分步计数原理，选出男、女生代表各名，共有不同的选法种数是．
答：选出名代表有种不同的选法；选出男、女生代表各名，有种不同的选法．
设计意图：学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用.
四、课堂练习
1.学校食堂备有种素菜、种荤菜、种汤．
(1) 若只吃一种菜或汤，有________种不同的选择；
(2) 若要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出________种不同的品种．
2.如图，从村到村的道路有条，从村到村的道路有条，从村到村的道路有条．李明要从村先到村，再经过村，最后到村，共有多少条线路可以选择？
3.某校学生会由高一年级人、高二年级人、高三年级人组成．
(1)选其中人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级选人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
参考答案：
1.解：(1) 有种不同的选择．
(2) 第一步， 配种荤菜，有种不同的选择；
第二步， 配种素菜，有种不同的选择；
第三步， 配种汤，有种不同的选择．
故共有种不同的品种．
2. 解：先考虑李明从村经过村到村：从村到村的道路有条，从村到村的道路有条，因此李明从村经过村到村可以分成类，每一类都有种不同的方法，共有条线路可以选择．
再考虑从村到村，有条道路可以选择，因此可以认为有类，共有条线路可以选择．
因此，整个行程可以理解为共有条线路可以选择．
3.解：(1)从个年级共名学生中选出名代表，共种选法．
(2)从每个年级中各选人，根据分步计数原理知，共种选法．
五、课堂小结
分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题．不同点在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；而分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事．
六、布置作业
教材第56页练习第1，2，3题．
