第2课时　排列的综合应用

类型1　 数字排列问题

【例1】　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

(1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)不大于4 310的四位偶数．

明确奇数和偶数的特点，注意“0”这个特殊元素，利用直接法或间接法求解.

[解]　(1)第一步，排个位数，有A种排法；

第二步，排十万位，有A种排法；

第三步，排其他位，有A种排法．

故共有AAA＝288个六位奇数．

(2)法一(直接法)：

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．

第一类，当个位排0时，有A个；

第二类，当个位不排0时，有AAA个．

故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．

法二(排除法)：

0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．

故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．

(3)分三种情况，具体如下：

(ⅰ)当千位上排1,3时，有AAA个．

(ⅱ)当千位上排2时，有AA个．

(ⅲ)当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个；

形如41××的偶数有AA个；

形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数．

故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)．

1．若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？

[解]　能被5整除的数字必须是个位为0或5，若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216个能被5整除的五位数．

2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？

[解]　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，所以240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．

数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素；

常用方法：优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．

注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．

1．用1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为________．(用数字作答)

24　[由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其他位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有A＝4×3×2＝24种方法．]

类型2　排队、排节目问题

【例2】　(1)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A．36种　    B．42种　    C．48种　    D．54种

(2)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？

①老师甲必须站在中间或两端；

②两名女生必须相邻而站；

③4名男生互不相邻；

④若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．

1丙的位置固定，应该以甲的位置为分类标准.

2①先考虑特殊元素甲；②捆绑法排列；③插空法排列.

(1)B　[因为丙必须排在最后一位，所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24(种)编排方案，当甲排在第二位时，有A·A＝18(种)编排方案，所以共有24＋18＝42(种)．]

(2)[解]　①先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2 160(种)；

②2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1 440(种)；

③先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)；

④7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×＝420(种)．

本例(2)中条件不变，问题改为“老师不站中间，女生不站两端”，结果如何？

[解]　中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：

①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A·A·A种站法；

②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A·A·A种站法．

所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A

＝960＋1 152＝2 112(种)．

排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.排队问题的解题策略：

1对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.

2对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.

3对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.

2．3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．

(1)全体站成一排，男、女各站在一起；

(2)全体站成一排，男生必须站在一起；

(3)全体站成一排，男生不能站在一起；

(4)全体站成一排，男、女各不相邻．

[解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；

女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；

全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．

由分步计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．

(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．

(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1 440种排法．

(4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144种排法．

类型3　排列问题的综合应用

　元素的“在”与“不在”问题

【例3】　3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．

2 880　[第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有A种排法．

第二步，安排其余6名学生，有A种排法．

由分步计数原理知，共有AA＝2 880种不同排法．]

　固定顺序排列问题

【例4】　7人站成一排．

(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法．

(2)甲在乙的左边，有________种不同的排法．

(1)840　(2)2 520　[(1)法一：7人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840种．

法二：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有A＝7×6×5×4＝840种．

(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A＝2 520种．]

　分类讨论思想

【例5】　用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数，并由小到大排列．则第114个数是多少？

[解]　分以下几类：

1×××型的四位数有A＝60(个)；

3×××型的四位数有A＝60(个)；

39××型的四位数有A＝12(个)．

因此可得到千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于9的数共有60＋60－12＝108(个)，所以第114个数必是39××型，按由小到大的顺序分别是3 916,3 917,3 918,3 961,3 967,3 968，…，故由小到大排列第114个数是3 968．

1．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法

(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．

提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．

2．固定顺序的排列问题的求解方法

这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有种排法．

3．(1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．

(2)4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．

(1)300　(2)504　[(1)法一(分类法)：分两类．

第1类，化学被选上，有AA种不同的安排方法；

第2类，化学不被选上，有A种不同的安排方法．

故共有AA＋A＝300种不同的安排方法．

法二(分步法)：第1步，第四节有A种排法；第2步，其余三节有A种排法，故共有AA＝300种不同的安排方法．

法三(间接法)：从6门课程中选4门安排在上午，有A种排法，而化学排第四节，有A种排法，故共有A－A＝300种不同的安排方法．

(2)4名男生和2名女生站成一排共有A＝720种站法，其中男生甲站最左端有A＝120种站法，女生乙站最右端有A种站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有A＝24种站法，故满足条件的共有720－120－120＋24＝504种站法．]

1．信号兵有3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号的个数为(　　)

A．3　    B．4　    C．6　    D．12

C　[由于3面旗子各不相同，故能打出的最多信号为A＝6个．]

2．2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1,2,3,4,5,6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有(　　)

A．60种　    B．120种　    C．144种　    D．240种

D　[由题意，因为1号与6号相邻降落，可将1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排，则不同的安排方法有AA＝240种．]

3．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有(　　)

A．320种　    B．360种　    C．370种　    D．390种

B　[由题意分步进行安排：

第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有A种排法；

第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法．

故不同的安排方法共有A×1＝6×5×4×3＝360种．]

4．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有________个．

240　[个位是0，有4A＝96个；个位不是0，有2×3×A＝144个，

∴共有96＋144＝240个．]

5．将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有________种．

78　[当b列车停在第一轨道上时，有A种不同的停放方法；当b列车不停在第一轨道上时，第一轨道上有A种列车可以停放，第二轨道上也有A种列车可以停放，其他轨道上有A种不同的停放方法，故共有A＋AAA＝78种不同的停放方法．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

求解排列问题的常用方法有哪些？

[提示]　(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；

(2)间接法：正难则反，等价转化的方法；

(3)优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；

(4)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

(5)插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；

(6)定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．