《两个基本计数原理的应用（1）》示范课教案【高中数学苏教版】

第七章  计数原理

7.1.2  两个基本计数原理的应用（第1课时）

1.理解两个基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，能正确使用两个原理解决简单计数问题；

2.掌握分类计数原理和分步计数原理的区别和联系．

教学重点：正确选择加法原理或乘法原理解决问题．

教学难点：综合使用加法原理和乘法原理解决问题.

一、情境引入

前面我们学习了两个计数原理：分类计数原理和分步计数原理．

分类计数原理（加法原理）：如果完成一件事，有类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法……在第类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．

分步计数原理（乘法原理）：如果完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．

我们知道，加法原理中，类与类不相交，每一类方式中的每一种方法都可以完成指定事情，乘法原理中，步与步有关联，只有所有的步骤都完成，才能完成指定事情，缺一不可．应用这两个原理解决问题时，都要先分清“要完成的一件事”是什么，然后再根据事情确实是分类还是分步，那么具体在应用中又如何准确的进行分类和分步呢，下面我们通过几个例子来进行探究．

二、应用举例

例1.（1）在如图所示的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？

（2）在如图所示的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？

分析：图（1）电路中模块A、B为并联关系，A中的2只开关、B中的3只开关各自也是并联关系，任意合上1只都可以完成接通电路这一件事，故可根据分类计数原理求解．

图（2）中模块A、B为串联关系，要接通A有2个小开关可供选择，要接通B有3个小开关可供选择，而必须同时接通A、B两模块才能完成接通电路这一件事，故可根据分步计数原理求解．

解：（1）图中电路要接通，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可，根据分类计数原理，共有2+3=5种不同的方法；

（2）图中电路要接通必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关，有2种选择；第二步，合上B中的1只开关，有3种选择．根据分步计数原理，共有2×3=6种不同的方法．

答：（1）在图示电路中，仅合上1只开关接通电路，有5种不同方法；

（2）在图示电路中，仅合上2只开关接通电路，有6种不同方法．

例2.如图所示，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？

问题1：①本题目中要完成的“一件事”是什么？②如何完成“这件事”？

答案：①要完成的“一件事”是：从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，其中A、B两村之间有3条路，B、C两村之间有2条路，C、D两村之间有3条路．

②因为要从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，所以这件事情需要分三个步骤完成：第一步，从A村到达B村，第二步，从B村到达C村，第三步，从C村到达D村．

解：李明从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，分三个步骤来完成：

第一步，从A村到达B村，有3条路可选择；

第二步，从B村到达C村，有2条路可选择；

第三步，从C村到达D村，有3条路可选择；

根据分类乘法计数原理，一共有N=3×2×3=18条路可供选择．

问题2：以上解法是直接应用分类乘法计数原理，能否用分类计数原理来解决这个问题呢？

答案：可以．将这件事情分两个步骤完成：第一步，从A村先经过B村到达C村，第二步，从C村到达D村．

解：先考虑李明从A村经过B村到C村：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类，每一类都有2种不同的方法，共有2+2+2=2×3=6条线路可以选择．

再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6=6×3=18条线路可以选择．

因此，整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择．

问题3：对比以上通过以上两种解法，试着说一说两个计数原理的联系．

答案：两个计数原理本质上是一致的，分步计数原理的本质实际上就是分类加法计数，事实上，可以把第一步的m1种不同的方法看成有m1类，只不过每一类的方法数是相同的，因此可以运用乘法表示加法．这种关系类似于数的运算中，乘法运算本质就是特定条件下加法运算的简化．

例3.3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？

问题：①该题目中，要完成的“一件事”是什么？②如何完成这件事？

答案：①要完成的“一件事”是：让3名同学每人从5本不同电子书中任选1本；②3人要各自选1本电子书，这个事情可以分三步完成，即3人按照第一名、第二名、第三名的顺序依次选书，故不同选法的种数可以用分步计数原理来求解．

解：第一步，第一名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法；

第二步，第二名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法；

第三步，第三名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法．

因此，根据分步计数原理，总共不同的选法种数为5×5×5=125．

答：共有125种不同的选法．

练习：①有5封不同的信，投到3个不同的信箱，有多少种不同的投法？如果是3封信投到5个信箱呢？

②有5个人要报名去参加3项比赛，每人只能报一项，则有多少种不同的报名方法？如果5个人同时参加了3项比赛，那么关于3项比赛的冠军，又有多少种不同可能？

答案：①5封信投到3个信箱，完成这一件事可以分成五步，即依次投递第1~5封信，每封信投哪个信箱都有3种选择，根据分步计数原理，则一共有35种不同的投法．

反之，若是3封信投递到5个信箱，则每封信都有5种不同的投法，依次投3封信，则一共有53种不同的投法．

②5个人报名参加3项比赛，完成这件事情可以分为3步，即依次让每个人去选比赛，均有3种可能，所以根据分步计数原理，一共有35种不同的报名方法．

如果是5个人去争夺3项比赛的冠军，因为每项冠军只能有一个人，故这个问题可以看成是3个项目冠军依次来从5个人中选一个当，均有5种选法，所以根据分步计数原理，一共有53种不同的冠军可能．

可见，在以上该类型问题中，最重要的是按照完成这件事的步骤，分清楚谁是主动元素，谁是被动位置，比如是信选信箱还是信箱选信，是人选项目还是项目选人．

例4.为了确保电子邮件的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，

（1）若密码为4位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？

（2）若密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？

分析：（1）确定一个4位数的密码，可以按照先确定第1位、再确定第2位、再确定第3位、最后确定第4位的顺序分步进行，再根据分步计数原理求解．．

（2）若密码为4~6位，则这个密码的位数有三类可能，分别为4位、5位、6位，在每一类位数的密码确定中，可以仍按照第1位、第2位、……的顺序依次确定，再根据分步计数原理求出该位数密码的总个数，最后由分类计数原理得出三类密码的总个数．

解：（1）设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10=10000．

（2）设置的密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106．根据分类计数原理，设置由数字0~9组成的4~6位密码的个数是104+105+106=1110000．

答：满足条件的密码的个数分别为10000和1110000．

三、课堂练习

1.如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路，问：

（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

解：（1）从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，根据分步计数原理，从甲地经过乙地到丙地的不同走法数量为3×2=6；

（2）从甲地到丙地的路分两类，第一类，不经过乙地，共有2条路，第二类，经过乙地，由（1）知共有6条路，根据分类计数原理，从甲地到丙地的不同走法数量为2+6=8．

答：（1）从甲地经乙地到丙地有6种不同的走法；（2）从甲地到丙地共有8种不同的走法．

2.“要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？”尝试用多种方法来解决这个问题，并说明各种方法的不同之处．

解： 方法一，分类解决这个问题，第一类，“甲在左”时，不同的挂法有“甲乙、甲丙”2种，第2类，“乙在左”时，不同的挂法有“乙甲、乙丙”2种，第3类， “丙在左”时，不同的挂法有 “丙甲、丙乙”2种，所以不同的挂法共有2+2+2=6种．

方法二，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6．

方法三，第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法：甲乙、甲丙、乙丙，第二步，将选出的两幅画挂好，分别有2种挂法，所以共有3×2=6种挂法．这种方法的核心就是先选出两幅画，再按指定位置挂好．

这三种方法中，方法一是按左边画的不同分类求解，方法二是分步求解，先选左边的画，再选右边的画，两种方法本质是一样的，体现了乘法原理可以看成特定条件下加法原理的简化的这个关系，方法三是先选两幅画，再分左右挂，体现了“先选后排”解决问题的思想．

四、梳理小结

问题1：简单总结一下两个计数原理的区别和联系．

问题2：回顾用两个计数原理解决计数问题的过程，尝试说一说其中的要点都有哪些？

答案：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：

（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．

分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.

分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

五、课后作业

教材P57，习题7.1

理解·感受 第2,4,5,6题，思考·运用第9题