《排列数》示范课教案【高中数学苏教版】

第七章 计数原理

7.2.2 排列数

1.能利用计数原理推导排列数公式．

2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．

教学重点：理解排列数的概念，了解排列数公式的推导过程．

教学难点：排列数公式．

一．复习引入

问题1：在前面解决排列问题的时候，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越繁琐了，是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？

答案：我们把从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号表示．

追问１：用排列数符号表示从３个元素中取出２个元素的排列数，并说明排列数与排列有何区别．

答案：表示为，已经算得．一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，并按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它不是数．而排列数是指从n个不同元素中取m个元素的所有不同排列的个数，它是一个数．

追问２：用排列数符号表示从４个元素中取出３个元素的排列数，它与追问１中的排列数有什么共同之处？

答案：表示为，已经算得．两个追问中的排列数，都是从n个不同元素中取出m（mn）个元素进行排列，求所有不同排列的个数．

设计意图：结合上一节已解决的具体问题，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫．

问题2：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的排列数（mn）是多少？

追问１：我们已经知道问题1中追问1的排列数，追问2的排列数

，那么如何求排列数和？

答案：根据前面求排列数的经验，求排列数．解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到，因此，所有不同填法的种数就是排列数．

接下来来计算有多少种填法. 完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：

第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法；

第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法．

利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到 ．

按照同样的方法，发现求排列数，可以按依次填3个空位来考虑，得出 ．

追问2：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？

答案：根据前面求排列数和的经验，得到：求排列数可以按依次填个空位来考虑：

假定有排好顺序的个空位如图，从n个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数.

填空可以分为个步骤完成：

第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；

第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法；

第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法；

……

第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法.

根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为.

这样，我们就得到公式 ．

问题1答案：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的排列数（mn）是 ．

设计意图：通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式．

三．公式辨析

问题3：观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？

答案：排列数的排列数公式右边有m个因数，各因数从n开始依次减小1．

追问1： 你能利用排列数公式，直接计算出，，吗？

答案：根据排列数公式，我们可以得到：，，

．

特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时，排列数公式中，即有．也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成．

另外，我们规定，．

设计意图：通过辩析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并给出阶乘的概念，规定0！=1．

四．公式应用

例1 计算下列排列数（1）； （2）；  （3）；   （4）．

问题1：利用排列数公式求排列数时，n和m的值分别是多少？右边的因数分别有几个？最后一个因数是几？

答案：利用排列数公式求排列数时，n的值为5，m的值为3，右边的因数有3个，最后一个因数为5-3+1=3．

解：根据排列数公式，可得
（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解．

例2  求证：．

证明：

因为0！=1，所以这个结论当m=n时也成立，故排列数公式也可以写成 ．

设计意图：选择合适的排列数公式进行运算和证明，促进学生把握公式的特征，并掌握公式的使用条件.

例3  求证：（）

证法1：=．

证法2：．

证法3：考虑从n个不同元素中取出m个元素的排列．

一方面，其所有排列的个数为．

另一方面，这样的排列也可以分成两步来完成：第一步，从n个不同元素中取出1个元素，排在首位，有n种方法；

第二步，从余下的n-1个元素中取出m-1个元素，排在其余位置上，有种方法．

那么，所有排列的个数为．

因此，．

课堂练习：证明．

证法1：因为

                ，

所以．

证法2：表示从n+1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素的有个．

含有的可这样进行排列：先排，有m种排法，再从另外n个元素中取出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上，有种排法．

故= + ，所以．

规律方法 排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．

例4  从5名同学中选3名排成一列，共有多少种不同的排法？

解：从5名同学中选3名排成一列，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此，不同排法的种数是．

答：共有60种不同的排法．

例５ 6某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？

分析 由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以1场比赛相当于从12个不同元素中任取2个元素的1个排列．

解：因为1场比赛对应于从12个不同元素中任取2个元素的1个排列，所以总共进行的比赛场次是．

答：共要进行132场比赛．

例6 用0-9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

问题1：这是不是一个排列问题？

答案：在0-9这10个数字中，选择三个不同的数字并对其进行排列，是一个排列问题．

追问1：在数字的选择上，百位上的数字有什么特殊要求吗？十位和个位上的数字呢？

答案：百位做为最高位，百位上的数字不能为0，十位和个位上的数字没有特殊要求．

解：如图所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：

第1步，确定百位上的数字，可以从1-9这9个数字中取出1个，有种取法；

第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法．

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为．

追问2：除了上面的方法，还有其他的方法可以解决这个问题吗？

答案：有，还可以采用分类加法计数原理进行求解．

解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：

第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；

第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；

第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法．

根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为

．

我们还可以利用间接法进行求解：

解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为

．

总结：求排列问题的方法可以归纳为以下几步：

①       判断排列问题；

②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；

③利用排列数公式求出结果．

设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法.

五．课堂小结

回顾本节课学习的主要内容，回答下列问题；

（1）提出一个排列问题，并结合问题说明排列与排列数的区别.

（2）排列数公式是如何推导的？

（3）如何解决排列问题？

答案: (1)在10名同学中，选择两名同学，参加个不同的活动，即为排列问题，这个问题中，排列问题是从10个不同元素中取出2个元素并进行排序，而排列数，是从10个不同元素中取出2个元素进行排序一共有多少排法种数.

（2）求排列数可以按依次填个空位来考虑：

假定有排好顺序的个空位如图，从n个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数.

填空可以分为个步骤完成：

第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位，有n种选法；

第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法；

第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法；

……

第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法.

根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为.

这样，我们就得到公式 ．

（3）          求排列问题的方法可以归纳为以下几步：

①判断排列问题；

②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；

②     利用排列数公式求出结果．

设计意图：通过问题形式，明确排列数的概念，回顾排列数公式的推导，总结解决排列问题的一般方法.

作业布置：教材第163页练习第1，2，3题．

六、目标检测设计

1．已知，则n的值为(   )

A.4        B.5          C.6        D.7

2．（多选题）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是(   )

A. 　　　　　　　B.

C. 　　　D.

　　３．一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（，）个车站，因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站？现在又有几个车站？

参考答案：

1. 解：由，得，解得 ．

故选B．

2．解：对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确；

对于B，由于，所以，故B正确；

对于C，由于，所以，故C错误：

对于D，由于，故D正确．

故选：ABD．

3. 解：由题设，即．

（1）若，则，；

（2）若，则，，不合题意，舍去；

（3）若，则，；

（4）若，则，，不合题意，舍去．原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站．