《排列》示范课教案【高中数学苏教版】
展开第七章 计数原理
7.2.1 排列
1．理解并掌握排列的概念．
2．能应用排列知识解决简单的实际问题．
教学重点：排列、排列数的定义．
教学难点：认识排列数与分步乘法计数原理的关系．
一、问题导入
想一想：在日常生活中，我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征呢？
（1）高二（1）班准备从甲、乙、丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
（2）从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
问题1：高二（1）班准备从甲、乙、丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
追问1：问题1中要完成的“一件事情”是什么？
答案：从3名学生种选择两名学生，并且给两名学生排序担任班长和副班长职位．
追问2：能否利用计数原理计算不同的选法种数？试着列出各种不同的选法．
答案： 能，可以按照以下步骤
第1步：从甲、乙、丙三人中任选1人担任班长，有3种方法；
第2步：从余下的2个人中任选1人担任副班长，有2种方法，如图：
班长 甲 乙 丙
副班长 乙 丙 甲 丙 甲 乙
即共有6种不同的选法：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙．
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为：3×2=6．
问题2：从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
追问1：问题2中要完成的“一件事情”是什么？
答案：从3个不同数字中选出两个数字，并对这两个数字进行排序．
追问２：能否利用计数原理计算不同的选法种数？
答案：能．可以按照以下步骤进行：
第1步：可以从3个数字中任选1个排在第一位，有3种方法；
第2步：在剩下的2个数字中选择一个排在第二位，有2种方法，即第一位的每一种方法都对应2种方法，如图：
第一位 1 2 3
第二位 2 3 1 3 1 2
根据分步乘法计数原理，从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，共有：3×2=6种选法．
问题3：前面的两个问题有什么共同特征？
（1）高二（1）班准备从甲、乙、丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
在给定的3个元素中选择两个元素，按照一定的顺序进行排列．
（2）从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
在给定的3个元素中选择两个元素，按照一定的顺序进行排列．
总结：这些问题都是对给定的n个元素或者其中的一些元素，按照一定的顺序进行排列．
设计意图：通过分析、比较三个实例,概括它们的共同特点,从特殊到一般得出排列的概念,并辨析概念．
二.抽象概念
排列的概念
排列：一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序” ．
【概念巩固】
思考:下列问题中哪些是排列问题？为什么？
（1）10名学生中抽2名学生开会
（2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）从0-9中任取两个数组成一个集合
（6）从0-9中任取两个数组成一个点的坐标
（7）从圆上的10个点中任取两点为端点作弦
（8）从圆上的10个点中任取两点为起终点作向量
如何判断一个问题是否是排列问题？
对于每一种既定结果，改变其元素顺序，看是否会形成不同结果,若是，则是排列；若否，则不是排列．
答案: （1）无序,不是排列
（2）有序,是排列
（3）无序,不是排列
（4）有序,是排列
（5）无序,不是排列
（6）有序,是排列
（7）无序,不是排列
（8）有序,是排列
【典例精讲】
例1 （1）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列；
（2）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列．
解：（1）从4个不同元素中取出2个元素的所有排列，相当于从4个不同元素中选出2个元素放入右图的方格中．
第1步：第一个位置可以从4个不同元素中任选1个，有4种方法；
第2步：第二个位置可以从除了确定在第一个位置的元素之外的3个中任选1个，有3种方法，如图．
位置一 a b c d
位置二 b c d a c d a b d a b c
因此，共计有12种不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，da，db，dc．
（2）根据（1），从4个字母种取出2个字母的排列有12个，在每一种这样的排列后面排上其余的2个字母中的任何一个，就得到取出3个字母的所有排列，如图：
第一位 a b c d
第二位 b c d a c d a b d a b c
第三位c d b d b c c d a d a c b d a d a b b c a c a b
因此，共计有24个不同的排列，它们是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．
追问1：你能写出a，b，c，d这四个字母都取出的所有排列吗？
答案：根据（1）（2），从4个字母种取出3个字母的排列有24个，在每一种这样的排列后面再排上最后一个字母，就能够得到4个字母的所有排列，如图：
第一位 a b c d
第二位 b c d a c d a b d a b c
第三位c d b d b c c d a d a c b d a d a b b c a c a b
第四位d c d b c b d c d a c a d b d a b a c b c a b a
因此，共计有24个不同的排列，它们是abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb，bacd，badc，bcad，bcda，bdac，bdca，cabd，cadb，cbad，cbda，cdab，cdba，dabc，dacb，dbac，dbca，dcab，dcba．
规律方法 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
追问２：能否利用计数原理计算出a，b，c，d这四个字母都取出的所有排列？
答案：从树形图中可以看出，处理排列问题可以分步进行．
将构成排列的过程分为3个步骤，从第1位到第４位依次选填：
第1位可从这4个字母中任取1个来填，有4种不同的方法；
第2位从剩下的3个字母中任取1个来填，有3种不同的方法；
第3位从剩下的2个字母中任取1个来填，有2种不同的方法；
第４位为剩下的最后一个字母，只有一种方法．
根据分步乘法计数原理可知，四个字母都取出的所有排列的个数为４×３×2×１=２４．
三、归纳小结，布置作业
【课堂小结】排列是分步乘法计数原理的重要应用，其特征如下：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序进行排列”．“一定的顺序"与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同．
作业布置：教材第60页练习第1，2，3，4题．
四、目标检测设计
1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为( )
A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙丙，乙丙甲
C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D.甲乙，甲丙，乙丙
３．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业一告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A.8种 B.16种 C.18种 D.24种
4. 8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有_______种不同的种法（用数字作答）.
参考答案：
1．解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．答案C．
2．解析：若选出的是甲、乙，则站法有甲乙、乙甲；若选出的是甲丙，则站法有甲丙、丙甲；若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙．故选C．
３．解析：可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有2种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有2种．根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×2×2=8（种）．故选A．
４．解析：本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5=1680（种）.
