第三章 函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     函数的单调递增区间是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     下列函数中，在上是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.     有下列几个命题，其中正确的命题是(    )

A. 函数在上是减函数.
B. 函数的单调减区间是
C. 已知函数对任意的，，都有，的图像关于对称，则
D. 已知函数是奇函数，则

5.     关于函数的结论正确的是(    )

A. 定义域、值域分别是， B. 单调增区间是
C. 定义域、值域分别是， D. 单调增区间是

6.     下列函数中，在区间上单调递减的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

7.     设函数，，则函数的解析式__________，函数的递减区间是__________.
8.     已知函数，若对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是__________.
9.     函数的单调增区间是__________

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

10. 本小题分

已知函数满足为常数，且
求实数a的值及函数的解析式；
当时，讨论函数的单调性，并用定义证明你的结论．

11. 本小题分

已知函数，

若，试判断并用定义证明的单调性；

若，求的值域．

12. 本小题分

已知函数的图象过原点，且

求的解析式；

在的条件下，求的单调递增区间，并用定义证明.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

分别判断函数的奇偶性与单调性可得．

【解答】

解：函数满足“对任意，当时，都有”

根据函数单调性定义可得：当时为减函数.

对于A，因为，当，函数是单调递增，故A不符题意;

对于B，因为，是奇函数，故B不符题意;

对于C，因为，当，函数是单调递减，且是偶函数，故C符合题意;

对于D，因为，当，根据二次函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符题意.

故选：

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查复合函数的单调性，属于中档题．
先求出定义域，再在定义域内讨论复合函数单调性即可.

【解答】

解：函数的定义域为，
二次函数在区间内单调递减，在内单调递增，且函数值恒为正值，
故也在区间内单调递减，在内单调递增，函数值同样恒为正值，
所以在区间内单调递增，在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为，
故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数，反比例型函数，幂函数和三次函数的单调性，属于基础题．
可看出选项A，D的函数在上都是减函数，选项B的函数在上不单调，从而只能选

【解答】

解：A项中，在上是减函数，故错误；
B项中，的图象开口向下，对称轴方程为，
故该函数在上单调递增，在上单调递减，
在上不单调，故错误；
C项中，函数，在和上分别单调递增，故正确；
D项中，函数在上单调递减，故错误．
故选：

4.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性与单调区间、函数的奇偶性的相关知识，属于中档题.
由二次函数的单调性判断A正确；由反比例函数的单调性得出B错误；由函数的定义域判断C错误；由奇函数的性质判断D正确.

【解答】

解：在和上均单调递减，
虽然、都是的单调减区间，
但取并集以后就不再符合单调递减的定义，故A错误；
函数的定义域为，则函数在上递增，在上递减，故B正确；
函数对任意的，，都有，则可知函数在内单调递减，的图象关于对称，则可知，而，则，故C正确.
设，则，，因为为奇函数，所以，故D错误．
故选

5.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性，定义域，值域，意在考查学生对于复合函数性质的灵活运用.
先计算定义域为，考虑函数，判断其单调性和值域，得到的值域和单调性得到答案.

【解答】

解：则定义域满足：解得：
即定义域为
考虑函数在上有最大值4，最小值
在上单调递增，在上单调递减.
故的值域为，在上单调递增，在上单调递减
故选

6.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的单调性和单调区间，属于中档题．
直接根据单调性的定义判断即可．

【解答】

解：因为的开口向上，对称轴，函数在上单调递减，满足题意；

在上单调递减，满足题意；

在上单调递增，不满足题意；

在上单调递减，满足题意．

故选

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，函数的单调区间，属于中档题.
利用分段函数，写出的解析式，画出的图象，根据图象得出的递减区间．

【解答】

解：函数，，

当时，即，；

当时，，；

当时，，；

；

画出函数的图象，如图所示：
 

根据图象得出，函数的递减区间是
故空1答案为：；空2答案为：

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
由已知可得函数在R上为增函数，则分段函数的每一段均为增函数，且在分界点左段函数不大于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．

【解答】

解：对任意，都有成立，则函数在R上为增函数，
，
故，解得
故答案为

9.【答案】和 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，涉及二次函数的单调性，绝对值函数的图象的作法.
画出函数的图象，利用函数的图象求函数的单调区间.

【解答】

解：由，可得或，

且函数的对称轴为，
所以，
作出函数的图象如图所示，
 

可知函数的单调递增区间为和

故答案为和

10.【答案】解：因为，
所以令得，所以，
所以①，
易得②，
联立①②，解得
函数在上单调递减，在上单调递增.
证明：设，
则

又因为，即，，，
所以，即
所以函数在上单调递减.
设，则

又因为，即，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
综上可得，函数在上单调递减，在上单调递增. 

【解析】本题考查了函数的解析式和函数的单调性.
令得，所以，所以，则，联立可得；
函数在上单调递减，在上单调递增，分别利用定义证明即可.
 

11.【答案】解：当时，，是单调增函数，
证：任取，，且，
则
，
，
在上单调递增．
当时，，
令，当且仅当时取等号，
，时，，
，
，
的值域为 

【解析】本题考查函数的最值的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力．
利用函数的单调性的定义证明即可;
化简表达式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可．
 

12.【答案】解：由题意，
解得，所以

因为在上单调递减，
则在上单调递增，
所以的单调递增区间为证明如下：

任取且，则    

因为所以，，

，，即

所以的单调递增区间是 .

【解析】本题考查函数解析式求法以及函数单调性，属于基础题.
直接把两个点代入联立方程求出a，b，即可求出函数解析式；
利用函数单调性的定义证明即可.