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专题09 奇偶性应用归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）
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专题9 奇偶性应用归类
目录
【题型一】奇偶性概念辨析 2
【题型二】常见函数奇偶性判断 3
【题型三】奇偶函数与图像 5
【题型四】抽象函数奇偶性判断 6
【题型五】“平移”函数奇偶性 8
【题型六】利用奇偶性求解析式 9
【题型七】奇偶函数混合型求解析式 10
【题型八】利用奇偶性求函数值 12
【题型九】利用奇偶性求和 13
【题型十】利用奇偶性解方程、不等式 14
【题型十一】不等式恒成立求参 17
【题型十二】利用奇偶性求抽象函数恒成立参数 18
【题型十三】利用奇偶性求最值与范围 20
【题型十四】利用奇偶性质推导周期 21
培优第一阶——基础过关练 24
培优第二阶——能力提升练 28
培优第三阶——培优拔尖练 33
综述：
奇偶性
(1)奇偶函数的性质
①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ；
(2)奇偶性的判定
①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ；
②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；
③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．
(2)常见奇函数
①f(x)＝
②f(x)＝loga
③f(x)＝g(x)－g(－x)
④f(x)＝loga(＋x)
当然，还有f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等；
奇偶性（对称型）与周期
周期性：①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
【题型一】奇偶性概念辨析
【典例分析】
函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
【变式训练】
1.函数，，（ ）
A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】D
【分析】结合函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】当时，，函数定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
故选：D
2.下面四个结论中，正确的个数是（ ）
①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于轴对称； ④偶函数的图象一定与轴相交．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据奇偶函数图像的特点即可判断①③，举出反例即可判断②④.
【详解】解：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，例如为奇函数，但其图象不过原点，故②错误；
对于③，偶函数的图象关于轴对称，故③正确；
对于④，例如为偶函数，但其图象与轴不相交，故④错误．
故选：B.
3.对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】如果是偶函数，根据偶函数的定义，可证是偶函数，而的图象关于轴对称，可举例说明不一定为偶函数，结合充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】函数是偶函数，则，
此时，，
因此的图象关于轴对称，
但当的图象关于轴对称时，
未必推出是偶函数，
如，的图象也关于轴对称，
但并非偶函数，
故“的图象关于轴对称”
是“是偶函数”的必要不充分条件．
故选：B.
【题型二】常见函数奇偶性判断
【典例分析】
．符号表示不超过x的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（ ）
①函数的定义域是R，值域为[0,1)；
②方程有无数个解；
③函数是奇函数；
④函数是增函数.
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断.
【详解】对于①：函数的定义域是，但，其值域为，故正确；
对于②：，可得，则，，都是方程的解，故正确；
对于③：函数的定义域是，而，如，，
故函数不是奇函数，故错误；
对于④：由②可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故错误，
故选：A
【变式训练】
1..若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A．1 B．2 C． D．－
【答案】A
【分析】由于函数为奇函数，则，化简后可求得的值.
【详解】依题意得，由于函数为奇函数，故，即，对比可得，故选.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.在利用奇偶性来解题时，主要把握的是，或者.属于基础题.
2.函数，则函数图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线对称
C．关于轴对称 D．关于轴对称
【答案】D
【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，由此可得出结论.
【详解】函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称.
故选：D.
3.已知函数，则的奇偶性为（ ）.
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性.
【详解】若，则，则；
若，则，则.
又，满足.
所以，又函数的定义域为，关于原点对称，
因此，函数为偶函数.故选B.
【题型三】奇偶函数与图像
【典例分析】
函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.
【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；
又时，，排除选项C，故选项A正确.
故选：A.
【变式训练】
1.函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，然后利用函数值的正负或取特殊值计算出函数值再排除一个，是正确选项．
【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、C；再取特殊值和，可得函数的大致图象为D，
故选：D.
2.下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.
【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误；
当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误；
当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误.
故选：B.
3.函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】带入特殊点，用排除法找出符合题意得图像.
【详解】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D；
当x为很小的正数时，，排除A．
故选：B．
【题型四】抽象函数奇偶性判断
【典例分析】
已知对于任意、，都有，，则（ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
【答案】D
【分析】根据等式特征，先令,由,可以求出的值；再令代入等式,可以得到和的关系,根据函数的奇偶性定义选出正确答案.
【详解】令,可得.
再令,可得,所以函数是偶函数.又因为,所以函数不是奇函数,所以是偶函数但不是奇函数.
故选D
【变式训练】
1.设函数的定义域为，对任意实数，，只要，就有成立，则函数（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【解析】令,由题意可得，，从而证出，令求出，令，可得，再令可得，从而可得出答案.
【详解】解析:令,则，∵,
∴,即,其中,∵,
∴.∵,∴.
∵,∴.
综上,知,∴函数既是奇函数又是偶函数.故选：C
2.若函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法一定正确的是（ ）
A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数
C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数
【答案】D
【分析】对抽象等式中进行赋值 ，即代入表达式，得到或，再令，不动，即可获得与之间的关系，从而获得函数的奇偶性．
【详解】令则有，则，
当时，再令则有所以，
所以是奇函数．当，则．再令则有，
所以，所以是偶函数．故选：．
3.若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性
【答案】A
【分析】分析可得，令可求得，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论.
【详解】因为，，
所以，，则，
函数的定义域为，令，可得，所以，，
令，则，所以，，
故函数为奇函数.
故选：A
【题型五】“平移”函数奇偶性
【典例分析】
已知函数满足，下列四个选项一定正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据，结合奇函数的定义可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以函数为奇函数.
故选：C.
【变式训练】
1.用列表法将函数表示为（见表格）则下列判断正确的是（ ）
-2
-1
0
-1
0
1
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【分析】由题意得，，，再根据奇偶性的定义判断即可得出结论．
【详解】解：由表格得，，，
则，，，
则，则为奇函数，则为偶函数不成立；
若为奇函数，即，则有函数的图象关于点对称，由题设推不出，不成立；
若为偶函数，即，则有函数的图象关于直线对称，由题设推不出，不成立；
故选：C．
2.若函数，则以下函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足，然后分别检验各个函数即可. 对选项，均满足；对选项，不满足；对选项和，均不满足定义域必须关于原点对称.
【详解】对选项，，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确；
对选项，，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项错误；
对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；
对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；
故选：
3.设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断.
【详解】，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
【题型六】利用奇偶性求解析式
【典例分析】
若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
【变式训练】
1.设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则时，___________________.
【答案】
【详解】当时，
则当时，
是定义在上的偶函数，
时，
2.已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到时，
【详解】由题意知，则，
所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，
所以时，，，
所以当时，，.
故选：B.
3..若函数在上是奇函数，则的解析式为．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由奇函数得，代入后求出解析式
【详解】函数在上是奇函数，
即，，即，
解得则故选
【题型七】奇偶函数混合型求解析式
【典例分析】
函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性定义求出和，再根据单调性定义判断．
【详解】因为，①
∴，即，②
由①②解得，，记，设，
则，，
∴当时，，，递增，
当或时，，，递减，
增区间为．故选：C．
【变式训练】
1.已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则
A． B． C．-3 D．
【答案】A
【分析】利用两个函数的奇偶性和已知恒等式构造另一个等式,再联立消元,解得即可解得.
【详解】因为 ①,用 替换恒等式中的得:
又因为函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数,所以 , ,
所以 ②,联立①②消去,,解得 ,
所以 =.故选 .
2.已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】先由是上的奇函数，是上的偶函数，且，得到，求出和，再求
【详解】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，
则，故.
故选：D
3.定义在上的偶函数和奇函数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由奇偶性求得，换元后化为二次函数，求出函数的值域（最值），然后解相应不等式可得参数范围．
【详解】因为定义在上的偶函数和奇函数满足，所以，所以
所以，因为，所以，令，则，，
由二次函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的值域为．
因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为．
故选：B．
【题型八】利用奇偶性求函数值
【典例分析】
已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【分析】通过已知条件，判断函数的奇偶性、周期性，利用函数图象的性质进行求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数;
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；
所以.
故选:C.
【变式训练】
1.已知函数为奇函数，且，则（ ）
A． B．7 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据为奇函数，可求得a，b的值，代入所求，即可得结果.
【详解】当时，，，又是奇函数，所以，
所以，，所以，所以．故选：B．
2.已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的概念和性质可得f（x）是周期为4的函数，将f（2021）化为f（1）即可.
【详解】因为f（x）为奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），
所以f（x＋3）＝f（x＋2＋1）＝－f（x＋2－1）＝f（x－1），所以，
即f（x）是周期为4的函数，故f（2021）＝f（1）＝－f（－1）＝－1.故选：D
3..已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则________.
【答案】
【解析】令，可证：是周期为4的偶函数，从而可求，从而求出.
【详解】令，则且恒成立.
因为为偶函数，故，
故为偶函数.
又，故，
所以是周期为4的偶函数，故.
又，所以即，
所以即.故答案为：.
【题型九】利用奇偶性求和
【典例分析】
已知定义在上的函数，对任意，都有且，则的值为_________
【答案】
【详解】令，则有，故或.
若，令，则即，与矛盾，故.
再令，则，故即.
所以为偶函数.
令，则对任意恒成立，
故，
所以，故，所以的周期.
又，，，
所以，
故
.故答案为：.
【变式训练】
1.已知函数是定义域为的奇函数满足.若，则___________.
【答案】0
【分析】根据是定义域为的奇函数满足,得到和的周期,再结合,求出,,和的值,进一步得到答案.
【详解】解:因为是定义域为的奇函数满足,
所以,,
则,所以的周期,
又,所以,,
令,则,所以,所以,
所以,
所以.
故答案为:0.
2.已知是R上的偶函数，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，则的值为 （ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【详解】分析：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，由奇函数的定义得f（x-1）+f（x+1）=0，再由f（1）=f（-1）=0，f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0．
解答：解：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，
∴f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1），
∴f（x-1）+f（x+1）=0，
∴f（9）+f（7）=0，f（5）+f（3）=0，
由f（x-1）是奇函数 得，f（0-1）=0，即f（-1）=0，
又f（x）是R上的偶函数，
∴f（1）=f（-1）=0，
∴f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，
故选 B．
3.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）
A．-2019 B．1 C．0 D．2019
【答案】C
【分析】推导出函数 为周期为4的周期函数，
， 由此能求出
【详解】 是定义域为的奇函数，满足，则有 ，又由函数 为奇函数，则 ，则有
则函数 是周期为4的周期函数，
，
【题型十】利用奇偶性解方程、不等式
【典例分析】
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于对称，画出函数图象，结合函数的对称性求解即可．
【详解】∵是定义在R上的奇函数，且当时，
∴当时，
则
即
则
作出的图象如图：
∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点
即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称
即。则所有解的和为。故选C．
【变式训练】
1.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴当x=0时，f（0）=0，下面求x∈[﹣4，0）时的f（x）的表达式，
设x∈[﹣4，0），则﹣x∈（0，4]，又∵当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）=﹣x2﹣4x，
又f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x，
∴f（x）=，令f（x）=0，解得x=﹣4或0或4，当x∈[﹣4，0]时，不等式f[f（x）]＜f（x），
即（x2+4x）2+4（x2+4x）＜x2+4x，化简得（x2+4x）2+3（x2+4x）＜0，解得x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）；
当x∈（0，4]时，不等式f[f（x）]＜f（x），即﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）＜﹣x2+4x，
化简得﹣（﹣x2+4x）2+3（﹣x2+4x）＜0，解得x∈（1，3）；
综上所述，x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3），故选B．
2.已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.
【详解】为定义在上的奇函数，.
当时，，，
为奇函数，，
由得：或；
综上所述：若，则的解集为.故选：.
3.已知定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据奇偶性求出在上的解析式，由不等式，得当时，，当时，，作出函数图象，结合图象能求出不等式的解集．
【详解】解：定义域为的奇函数，当时，，时，，
当时，，即，
，作出函数图象如下图，
不等式，当时，，解得
当时，，解得，
所以不等式的解集为或，
故答案为：.
【题型十一】不等式恒成立求参
【典例分析】
已知定义在上的奇函数满足：时，，且关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】根据函数的对称性求出的解析式，画出图象，问题转化为①或②在区间上恒成立，分离参数，求出的范围即可．
【详解】因为是奇函数，
可得，画出函数的图象，
如图所示：由得时，，解得，时，，解得，若关于的不等式在区间上恒成立，
则①或②在区间上恒成立，由①得：，在恒成立，则，
由②得：，在恒成立，则，
综上，，故答案为：．
【变式训练】
1.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据已知条件，判断在上的单调性，结合，再利用函数单调性，即可将问题等价转化为在区间上恒成立问题，结合函数最值，即可求得参数范围.
【详解】当时，，因为函数是奇函数故当时，，
在R上是单调递增函数，且满足，又不等式在恒成立，
在恒成立，即：在恒成立，解得：，故答案为：．
2.设函数是定义在上的奇函数，当时，，其中，若对任意的，都有，则实数的取值范围为___．
【答案】
【详解】试题分析：当时，，又①当时，函数在上单调递增，满足；②当时，函数在上单调递减，在及在上单调递增，要满足，须恒成立，即恒成立，因此，从而，综上①②得实数的取值范围为
3.已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得，由此可求得的取值范围.
【详解】解：由题意得
∵奇函数的定义域为，且在上单调递增
∴在定义域内单调递增．
若实数满足，即
故有，解得，所以的取值范围为.
故选：D
【题型十二】利用奇偶性求抽象函数恒成立参数
【典例分析】
已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）
【答案】B
【解析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：时，，根据增函数的定义推得函数在上是增函数，从而求得最大值为，然后将已知不等式先对恒成立，再对恒成立，就可以求出的范围
【详解】解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，
所以，
所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，
即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
令，则，即，解得或，故选：B
【变式训练】
1.已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则为定义在上的奇函数且为减函数，而等价于，利用性质去掉对应法则后得到恒成立，从而可求实数的取值范围.
【详解】令，则在上单调递减，又，
故，所以为定义在上的奇函数，
故在上为减函数.
由恒成立，得恒成立，即恒成立，可得恒成立，
即恒成立，所以实数的取值范围为.
故选：B.
2..已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据是偶函数可以得出函数的对称轴，再根据函数在上单调递减可以得出函数在上的单调区间，从而解出不等式对任意的恒成立时的取值范围．
【详解】是偶函数，所以得出函数的对称轴为，又因为函数在上单调递减，所以在上单调递增．因为，所以．因为不等式对任意的恒成立，所以．选择A
3.已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________.
【答案】
【分析】利用赋值法证明函数是偶函数，再证明函数在上是减函数，最后构造函数，利用在上是减函数，解不等式，即可得到答案；
【详解】解：中，
取得，取得，
取，，得，所以是偶函数，
设，则，，
所以，
所以在上是减函数，
设，是偶函数，且在上是减函数，
，，
所以，
且，所以m的取值范围是.
故答案为：.
【题型十三】利用奇偶性求最值与范围
【典例分析】
若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】B
【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.
【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．
故选:B
【变式训练】
1.已知是偶函数，当时，，若当时，恒成立，则的最小值为( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质求出函数在的解析式，进而求出函数在的值域，由不等式恒成立，得到关于的范围.
【详解】设，则.
有，又
∴当时，
∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，
依题意，恒成立，
则，即故的最小值为1.
2.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据推出周期为4，再根据奇函数推出时的表达式，再根据周期性推出时的表达式，再用二次函数求最小值.
【详解】由题意知，即，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，且是定义在上的奇函数，
∴时，，
∴当时，，
所以当时，函数的最小值为．
故选：B．
3..函数是定义域为的奇函数，且，已知，，则函数的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【答案】B
【解析】先由函数是定义域为的奇函数，求得的解析式，进而得到的解析式，再由可得函数是以4为周期的函数，则与的也是以4为周期的函数，只需求出在上的最小值即可.
【详解】设 ，则，所以 ，因为函数是定义域为的奇函数，
所以，所以，又，
所以，所以，所以该函数的最小值为-1.故选：B
【题型十四】利用奇偶性质推导周期
【典例分析】
设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．的一个周期为8
【答案】C
【分析】由、可推出的周期为8，利用对称性、周期性求、判断奇偶性及时的单调性，即可得答案.
【详解】由题设，，则关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知的周期为8，D正确；
，A正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；
由时递增，则时递增，显然C错误.
故选：C
【变式训练】
1.函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B错误；由推导得到，知A正确；由已知关系式无法推导得到，知CD错误.
【详解】是奇函数，；
是偶函数，，
，，
，，
是周期为的周期函数，B错误；
，，是偶函数，A正确；
，，无法得到，C错误；
，无法得到，D错误.
故选：A.
2.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
3.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由是奇函数，可得，由是偶函数，可得，令，，结合，可求出的值，然后结已知条件对化简可求得结果
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
从定义入手．，
，
所以．故选：．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【答案】B
【分析】利用奇函数、偶函数定义，举出函数实例，逐项分析判断作答.
【详解】奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．
故选：B
2.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．
【答案】0,0
【分析】根据函数在(－1,1)上是奇函数，利用及即可求解.
【详解】因为函数在(－1,1)上是奇函数，
所以f(0)＝0，解得m＝0.
由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，
解得n＝0.
故答案为：0，0
3.函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先研究函数的奇偶性排除B，再根据的解排除D，根据确定答案.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
,所以为奇函数，排除B；
当时，，排除D；
当时，，故选A.
故选：A
4.已知定义域为R的函数满足：对任意，恒成立，则函数（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】C
【解析】利用赋值法，再根据函数的奇偶性定义，即可求解.
【详解】令，则，
令，则，
令，则，即，
所以函数既是奇函数又是偶函数.故选：C.
5.若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】由图象变换可得：把的图象向左平移1个单位关于原点对称．
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以将的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即是奇函数．
故选：C．
6.．是R上的奇函数，当时，，则时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性直接求出当时的函数解析式.
【详解】当时，，
当时，，则，
又为R上的奇函数，所以.
故选：C
7.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意可得,由此求出的值,可得的值.
【详解】为奇函数,为偶函数,且,
,即,
,则,
故选：A.
8.设是定义域为的奇函数，是偶函数.若，则（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，根据题意可得，变形即可得出结果.
【详解】由为R上的奇函数，得，且，
由为偶函数，得图象关于直线对称，则，
所以，即，
则，即，
所以函数是周期为4的周期函数，
又，由，得
所以.
故选：C
9.已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．2022
【答案】A
【分析】根据是定义域上的奇函数，结合条件化简，可得出函数的周期，再计算出的值，发现，且呈周期出现，代入计算即可.
【详解】,又，
，函数的周期.
又函数是定义域为R的奇函数，，
，，
，又
.
故选：A.
10.设是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．
【详解】即时，，，即，可得，
当时，，，
因此即时，，，所以，
综上，不等式的解集为或．
故选：C．
11.．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】计算得到函数解析式为，画出函数图像，根据图像得到函数单调递增，故，解得答案.
【详解】当时，，，故，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知，函数单调递增，，即，解得.
故答案为：.
12.已知函数上上单调递减，且对任意实数，都有.若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件令和令得，可知是奇函数，由得，
再根据函数上上单调递减求解不等式可得解.
【详解】因为，令得，再令，得，
所以，又的定义域是R，所以是奇函数，
因为，所以，
又因为函数在上单调递减，故对任意，，
若，即有，解得．故选C．
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，若存在实数，使在上的值域为，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由已知画出函数的图象且得，分和两种情况进行讨论，利用函数的单调性可得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，如图，
由区间概念可推知，得，
（1）当时，，从而，即，所以，由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，所以，，即；
（2）当时，，从而，即，所以，
由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，
解得，，即，故选：D.
14.已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
【答案】C
【分析】由周期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.
【详解】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，
故选：C.
培优第二阶——能力提升练
1.下列命题正确的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称，且
B．偶函数的图象关于y轴对称，且
C．存在既是奇函数又是偶函数的函数
D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断．
【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；
函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；
奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.
故选：C.
2.若函数为奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】首先根据奇函数的定义域必须关于原点对称求得，再验证时是否满足题意，最后求解.
【详解】因为函数为奇函数，
所以定义域必须关于原点对称，
由题意得：即，
所以，
又当时，
满足，函数是奇函数.
所以成立
故选：A
3.已知函数，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.
【详解】因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；
又因为，可排除选项.
故选：A.
4.已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则（ ）
A．（1）且为偶函数
B．且为奇函数
C．为增函数且为奇函数
D．为增函数且为偶函数
【答案】A
【分析】令，可得，令，可得，令，换，可得，从而可得结论
【详解】函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，
当时，
可得（1）（1）（1），．
令，可得（1），
令，换，
可得．
函数是偶函数．
故选：A．
5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义，进行判断即可得解.
【详解】对A，不是奇函数；
对B，（）为奇函数；
对C，不是奇函数，
对D，不是奇函数，故选：B．
6..已知是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的解析式是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设，则，然后根据时函数的解析式及为偶函数即可求解．
【详解】由题意，设，则，
时，，，
是定义在R上的偶函数，
，，，
故选C．
7..已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】B
【分析】先构造出的解析式,然后根据奇偶性得到的解析式,最后联立方程组求解解析式,即可计算的值.
【详解】因为,所以,
又因为分别是偶函数和奇函数，所以,
所以,所以,
所以,
故选B.
8.已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】代入，和，利用奇函数的性质，两式相加求值.
【详解】,①,
和 都是奇函数，
即 ②
①+②可得
.
故选A.
9.设的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．不确定
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得函数的性：质，且，借助此性质计算作答.
【详解】上的函数，由是奇函数，得，，
由是偶函数，得，即，于是得，
因此，，由得，
则，
所以.
故选：B
10.已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，再考虑和两种情况，解不等式得到答案.
【详解】当时，，.
当时，，即，解得，故；
当时，，即，解得或，故.
综上所述：.
故选：B.
11.为定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立.则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】对一切成立，须即可，求出时，的解析式，即可求解.
【详解】为定义在R上的奇函数，，
当，，
当且仅当时，等号成立，对一切成立，，解得.
故答案为:.
12.已知定义在R上的奇函数f（x），且对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．若存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，2） B．[﹣3，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1]
【答案】A
【分析】利用奇函数性质不等式变为，条件（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0说明函数是减函数，从而得，即，只要小于的最大值即可．
【详解】∵对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．∴函数是减函数，
又是奇函数，∴不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0可变为，即，∴，即，
∵存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，
当x∈[﹣3，3]时，的最大值是6，∴，解是．
故选：A．
13.偶函数的定义域为，则的最小值
A．-3 B．3 C．-8 D．8
【答案】C
【分析】由偶函数的性质可先求得，再由定义域关于原点对称求得，进而可求的值域
【详解】为偶函数，，由可得；又定义域关于原点对称，故，解得，，当时，
故选C
14.函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
培优第三阶——培优拔尖练
1..已知上函数 ，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.
【详解】取，则，但，
所以函数不是奇函数；
故“”推不出“函数为奇函数”，
若函数为奇函数，则即，
故“函数为奇函数”能推出“”.
故选：B.
2.设.若函数，的定义域是.则下列说法错误的是
A．若，都是增函数，则函数为增函数
B．若，都是减函数，则函数为减函数
C．若，都是奇函数，则函数为奇函数
D．若，都是偶函数，则函数为偶函数
【答案】C
【分析】根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案．
【详解】根据题意可知，，
则，据此依次分析选项：
对于A选项，若函数、都是增函数，可得图象均为上升，则函数为增函数，A选项正确；
对于B选项，若函数、都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数
为减函数，B选项正确；
对于C选项，若函数、都是奇函数，则函数不一定是奇函数，如，，可得函数不关于原点对称，C选项错误；
对于D选项，若函数、都是偶函数，可得它们的图象都关于轴对称，则函数
为偶函数，D选项正确．故选C．
3.奇函数，，当时，，则函数的图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，利用奇函数的定义求出的解析式，可得在上的解析式，从而得到的解析式，从而得到它的图象．
【详解】解：奇函数，当时，．设，则，，，
．综上可得，，故，
即可得函数图象为
即选项满足条件；故选：．
4.已知函数对任意的实数，，都有，且.则此函数一定（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．函数图象关于直线对称 D．函数图象关于点对称
【答案】B
【解析】令得，令，，得，可得解.
【详解】对任意实数，，都有且，
则令，即，解得，
再令，，则，则.
根据函数性质可知：为偶函数.故B正确，A不正确，选项C、D条件不够推不出来.
故选：B.
5.已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.
【答案】10
【解析】先分析出是偶函数且，然后即可求出所有的的值
【详解】因为
所以
所以是偶函数若则或
解得或2或4又因为所以当时也成立
故满足条件的所有整数的和是故答案为：10
6.已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据得到函数的最小正周期为2,由当时, ,求出的解析式,再由是定义在R上的偶函数,求出的解析式,再将的图象向左平移2个单位即得的图象,合并并用绝对值表示的解析式即可.
【详解】，，故，即是最小正周期为2的函数.
当时，则，由题意，即；
又是定义在R上的偶函数,故，即；
令，则，故，即
故当时，函数的解析式为:.
故选：B
7.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【解析】用替换原式中的，可得，利用奇偶性可得，与相减即可求，进而可得的值.
【详解】因为①，
所以，
因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以②，
②-①得：，所以，所以，
故选：C
8.．已知函数为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．-5 C．-1 D．-3
【答案】B
【分析】由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.
【详解】.
故选:.
9.我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图像关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若的对称中心为，则（ ）
A． B． C．8084 D．8086
【答案】A
【分析】先根据题意及的特点，构造出，并得到其为奇函数，从而，求出结果为.
【详解】令，则
则，
所以为奇函数，
所以的图象关于对称，
所以，
故，
且，
所以.
故选：A
10.．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断出的图象关于直线对称，及在单调递减，上单调递增，利用单调性直接解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称.因为在上单调递减，所以在上单调递增.
因为，所以.
所以当时，；当时，．
由，得或解得．
故选：C
11.．是定义在上的偶函数，且时，，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据题意求得，把不等式转化为，即，结合题意，分、和，三种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，当时，则，
因为函数为偶函数，可得，
因为时，，所以，
又由，即，即，即，
因为时，不等式恒成立，
当时，,满足条件；
当时，不等式解得或，则满足或，解得；
当时，不等式解得或，则满足或，解得，
综上可得或或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
12.设函数在（，+）上有意义，对任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，并且函数的对称中心是（1，0），若函数=x，则不等式g+g<0的解集是（ ）
A．（，1）（2，+） B．（1，2）
C．（，1）（2，+） D．（1，2）
【答案】A
【分析】由已知条件可知为奇函数，从而可得也为奇函数，然后结合<|xy|，可得在上单调递增，结合单调性和奇函数的定义可得，从而可求出不等式的解集
【详解】解：由函数的对称中心是（1，0），可得函数的图像关于对称，所以为奇函数，
所以，因为，所以，所以，所以为奇函数，因为对任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，所以，
所以，即，所以，所以对任意的x，y∈R且x≠y，，所以在上单调递增，因为g+g<0，所以，
所以，即，解得或故选：A
13..定义在上的偶函数和奇函数满足，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，由此可得出结果.
【详解】因为定义在上的偶函数和奇函数满足，
所以，
所以，解得.
因为，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以在上的最大值为.
故选：D.
14.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过是奇函数和是偶函数可以确定函数的解析式与周期，进而求出结果.
【详解】因为是奇函数，所以①，且关于点对称，
因为是偶函数，所以②，且关于对称，
所以的周期为，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以.
故选：B
专题9 奇偶性应用归类
目录
【题型一】奇偶性概念辨析 2
【题型二】常见函数奇偶性判断 3
【题型三】奇偶函数与图像 5
【题型四】抽象函数奇偶性判断 6
【题型五】“平移”函数奇偶性 8
【题型六】利用奇偶性求解析式 9
【题型七】奇偶函数混合型求解析式 10
【题型八】利用奇偶性求函数值 12
【题型九】利用奇偶性求和 13
【题型十】利用奇偶性解方程、不等式 14
【题型十一】不等式恒成立求参 17
【题型十二】利用奇偶性求抽象函数恒成立参数 18
【题型十三】利用奇偶性求最值与范围 20
【题型十四】利用奇偶性质推导周期 21
培优第一阶——基础过关练 24
培优第二阶——能力提升练 28
培优第三阶——培优拔尖练 33
综述：
奇偶性
(1)奇偶函数的性质
①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ；
(2)奇偶性的判定
①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ；
②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；
③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．
(2)常见奇函数
①f(x)＝
②f(x)＝loga
③f(x)＝g(x)－g(－x)
④f(x)＝loga(＋x)
当然，还有f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等；
奇偶性（对称型）与周期
周期性：①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
【题型一】奇偶性概念辨析
【典例分析】
函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
【变式训练】
1.函数，，（ ）
A．是奇函数不是偶函数 B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】D
【分析】结合函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】当时，，函数定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
故选：D
2.下面四个结论中，正确的个数是（ ）
①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于轴对称； ④偶函数的图象一定与轴相交．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据奇偶函数图像的特点即可判断①③，举出反例即可判断②④.
【详解】解：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，例如为奇函数，但其图象不过原点，故②错误；
对于③，偶函数的图象关于轴对称，故③正确；
对于④，例如为偶函数，但其图象与轴不相交，故④错误．
故选：B.
3.对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】如果是偶函数，根据偶函数的定义，可证是偶函数，而的图象关于轴对称，可举例说明不一定为偶函数，结合充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】函数是偶函数，则，
此时，，
因此的图象关于轴对称，
但当的图象关于轴对称时，
未必推出是偶函数，
如，的图象也关于轴对称，
但并非偶函数，
故“的图象关于轴对称”
是“是偶函数”的必要不充分条件．
故选：B.
【题型二】常见函数奇偶性判断
【典例分析】
．符号表示不超过x的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（ ）
①函数的定义域是R，值域为[0,1)；
②方程有无数个解；
③函数是奇函数；
④函数是增函数.
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断.
【详解】对于①：函数的定义域是，但，其值域为，故正确；
对于②：，可得，则，，都是方程的解，故正确；
对于③：函数的定义域是，而，如，，
故函数不是奇函数，故错误；
对于④：由②可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故错误，
故选：A
【变式训练】
1..若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A．1 B．2 C． D．－
【答案】A
【分析】由于函数为奇函数，则，化简后可求得的值.
【详解】依题意得，由于函数为奇函数，故，即，对比可得，故选.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.在利用奇偶性来解题时，主要把握的是，或者.属于基础题.
2.函数，则函数图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线对称
C．关于轴对称 D．关于轴对称
【答案】D
【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，由此可得出结论.
【详解】函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称.
故选：D.
3.已知函数，则的奇偶性为（ ）.
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性.
【详解】若，则，则；
若，则，则.
又，满足.
所以，又函数的定义域为，关于原点对称，
因此，函数为偶函数.故选B.
【题型三】奇偶函数与图像
【典例分析】
函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.
【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；
又时，，排除选项C，故选项A正确.
故选：A.
【变式训练】
1.函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，然后利用函数值的正负或取特殊值计算出函数值再排除一个，是正确选项．
【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、C；再取特殊值和，可得函数的大致图象为D，
故选：D.
2.下列图象中，不可能是的图象的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.
【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误；
当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误；
当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误.
故选：B.
3.函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】带入特殊点，用排除法找出符合题意得图像.
【详解】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D；
当x为很小的正数时，，排除A．
故选：B．
【题型四】抽象函数奇偶性判断
【典例分析】
已知对于任意、，都有，，则（ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
【答案】D
【分析】根据等式特征，先令,由,可以求出的值；再令代入等式,可以得到和的关系,根据函数的奇偶性定义选出正确答案.
【详解】令,可得.
再令,可得,所以函数是偶函数.又因为,所以函数不是奇函数,所以是偶函数但不是奇函数.
故选D
【变式训练】
1.设函数的定义域为，对任意实数，，只要，就有成立，则函数（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【解析】令,由题意可得，，从而证出，令求出，令，可得，再令可得，从而可得出答案.
【详解】解析:令,则，∵,
∴,即,其中,∵,
∴.∵,∴.
∵,∴.
综上,知,∴函数既是奇函数又是偶函数.故选：C
2.若函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法一定正确的是（ ）
A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数
C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数
【答案】D
【分析】对抽象等式中进行赋值 ，即代入表达式，得到或，再令，不动，即可获得与之间的关系，从而获得函数的奇偶性．
【详解】令则有，则，
当时，再令则有所以，
所以是奇函数．当，则．再令则有，
所以，所以是偶函数．故选：．
3.若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性
【答案】A
【分析】分析可得，令可求得，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论.
【详解】因为，，
所以，，则，
函数的定义域为，令，可得，所以，，
令，则，所以，，
故函数为奇函数.
故选：A
【题型五】“平移”函数奇偶性
【典例分析】
已知函数满足，下列四个选项一定正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据，结合奇函数的定义可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以函数为奇函数.
故选：C.
【变式训练】
1.用列表法将函数表示为（见表格）则下列判断正确的是（ ）
-2
-1
0
-1
0
1
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【分析】由题意得，，，再根据奇偶性的定义判断即可得出结论．
【详解】解：由表格得，，，
则，，，
则，则为奇函数，则为偶函数不成立；
若为奇函数，即，则有函数的图象关于点对称，由题设推不出，不成立；
若为偶函数，即，则有函数的图象关于直线对称，由题设推不出，不成立；
故选：C．
2.若函数，则以下函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足，然后分别检验各个函数即可. 对选项，均满足；对选项，不满足；对选项和，均不满足定义域必须关于原点对称.
【详解】对选项，，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确；
对选项，，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项错误；
对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；
对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误；
故选：
3.设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断.
【详解】，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
【题型六】利用奇偶性求解析式
【典例分析】
若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
【变式训练】
1.设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则时，___________________.
【答案】
【详解】当时，
则当时，
是定义在上的偶函数，
时，
2.已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到时，
【详解】由题意知，则，
所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，
所以时，，，
所以当时，，.
故选：B.
3..若函数在上是奇函数，则的解析式为．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由奇函数得，代入后求出解析式
【详解】函数在上是奇函数，
即，，即，
解得则故选
【题型七】奇偶函数混合型求解析式
【典例分析】
函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性定义求出和，再根据单调性定义判断．
【详解】因为，①
∴，即，②
由①②解得，，记，设，
则，，
∴当时，，，递增，
当或时，，，递减，
增区间为．故选：C．
【变式训练】
1.已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则
A． B． C．-3 D．
【答案】A
【分析】利用两个函数的奇偶性和已知恒等式构造另一个等式,再联立消元,解得即可解得.
【详解】因为 ①,用 替换恒等式中的得:
又因为函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数,所以 , ,
所以 ②,联立①②消去,,解得 ,
所以 =.故选 .
2.已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】先由是上的奇函数，是上的偶函数，且，得到，求出和，再求
【详解】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，
则，故.
故选：D
3.定义在上的偶函数和奇函数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由奇偶性求得，换元后化为二次函数，求出函数的值域（最值），然后解相应不等式可得参数范围．
【详解】因为定义在上的偶函数和奇函数满足，所以，所以
所以，因为，所以，令，则，，
由二次函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的值域为．
因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为．
故选：B．
【题型八】利用奇偶性求函数值
【典例分析】
已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【分析】通过已知条件，判断函数的奇偶性、周期性，利用函数图象的性质进行求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数;
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；
所以.
故选:C.
【变式训练】
1.已知函数为奇函数，且，则（ ）
A． B．7 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据为奇函数，可求得a，b的值，代入所求，即可得结果.
【详解】当时，，，又是奇函数，所以，
所以，，所以，所以．故选：B．
2.已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的概念和性质可得f（x）是周期为4的函数，将f（2021）化为f（1）即可.
【详解】因为f（x）为奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），
所以f（x＋3）＝f（x＋2＋1）＝－f（x＋2－1）＝f（x－1），所以，
即f（x）是周期为4的函数，故f（2021）＝f（1）＝－f（－1）＝－1.故选：D
3..已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则________.
【答案】
【解析】令，可证：是周期为4的偶函数，从而可求，从而求出.
【详解】令，则且恒成立.
因为为偶函数，故，
故为偶函数.
又，故，
所以是周期为4的偶函数，故.
又，所以即，
所以即.故答案为：.
【题型九】利用奇偶性求和
【典例分析】
已知定义在上的函数，对任意，都有且，则的值为_________
【答案】
【详解】令，则有，故或.
若，令，则即，与矛盾，故.
再令，则，故即.
所以为偶函数.
令，则对任意恒成立，
故，
所以，故，所以的周期.
又，，，
所以，
故
.故答案为：.
【变式训练】
1.已知函数是定义域为的奇函数满足.若，则___________.
【答案】0
【分析】根据是定义域为的奇函数满足,得到和的周期,再结合,求出,,和的值,进一步得到答案.
【详解】解:因为是定义域为的奇函数满足,
所以,,
则,所以的周期,
又,所以,,
令,则,所以,所以,
所以,
所以.
故答案为:0.
2.已知是R上的偶函数，若的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，则的值为 （ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【详解】分析：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，由奇函数的定义得f（x-1）+f（x+1）=0，再由f（1）=f（-1）=0，f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0．
解答：解：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，
∴f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1），
∴f（x-1）+f（x+1）=0，
∴f（9）+f（7）=0，f（5）+f（3）=0，
由f（x-1）是奇函数 得，f（0-1）=0，即f（-1）=0，
又f（x）是R上的偶函数，
∴f（1）=f（-1）=0，
∴f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，
故选 B．
3.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）
A．-2019 B．1 C．0 D．2019
【答案】C
【分析】推导出函数 为周期为4的周期函数，
， 由此能求出
【详解】 是定义域为的奇函数，满足，则有 ，又由函数 为奇函数，则 ，则有
则函数 是周期为4的周期函数，
，
【题型十】利用奇偶性解方程、不等式
【典例分析】
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于对称，画出函数图象，结合函数的对称性求解即可．
【详解】∵是定义在R上的奇函数，且当时，
∴当时，
则
即
则
作出的图象如图：
∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点
即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称
即。则所有解的和为。故选C．
【变式训练】
1.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴当x=0时，f（0）=0，下面求x∈[﹣4，0）时的f（x）的表达式，
设x∈[﹣4，0），则﹣x∈（0，4]，又∵当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）=﹣x2﹣4x，
又f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x，
∴f（x）=，令f（x）=0，解得x=﹣4或0或4，当x∈[﹣4，0]时，不等式f[f（x）]＜f（x），
即（x2+4x）2+4（x2+4x）＜x2+4x，化简得（x2+4x）2+3（x2+4x）＜0，解得x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）；
当x∈（0，4]时，不等式f[f（x）]＜f（x），即﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）＜﹣x2+4x，
化简得﹣（﹣x2+4x）2+3（﹣x2+4x）＜0，解得x∈（1，3）；
综上所述，x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3），故选B．
2.已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.
【详解】为定义在上的奇函数，.
当时，，，
为奇函数，，
由得：或；
综上所述：若，则的解集为.故选：.
3.已知定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据奇偶性求出在上的解析式，由不等式，得当时，，当时，，作出函数图象，结合图象能求出不等式的解集．
【详解】解：定义域为的奇函数，当时，，时，，
当时，，即，
，作出函数图象如下图，
不等式，当时，，解得
当时，，解得，
所以不等式的解集为或，
故答案为：.
【题型十一】不等式恒成立求参
【典例分析】
已知定义在上的奇函数满足：时，，且关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】根据函数的对称性求出的解析式，画出图象，问题转化为①或②在区间上恒成立，分离参数，求出的范围即可．
【详解】因为是奇函数，
可得，画出函数的图象，
如图所示：由得时，，解得，时，，解得，若关于的不等式在区间上恒成立，
则①或②在区间上恒成立，由①得：，在恒成立，则，
由②得：，在恒成立，则，
综上，，故答案为：．
【变式训练】
1.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据已知条件，判断在上的单调性，结合，再利用函数单调性，即可将问题等价转化为在区间上恒成立问题，结合函数最值，即可求得参数范围.
【详解】当时，，因为函数是奇函数故当时，，
在R上是单调递增函数，且满足，又不等式在恒成立，
在恒成立，即：在恒成立，解得：，故答案为：．
2.设函数是定义在上的奇函数，当时，，其中，若对任意的，都有，则实数的取值范围为___．
【答案】
【详解】试题分析：当时，，又①当时，函数在上单调递增，满足；②当时，函数在上单调递减，在及在上单调递增，要满足，须恒成立，即恒成立，因此，从而，综上①②得实数的取值范围为
3.已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得，由此可求得的取值范围.
【详解】解：由题意得
∵奇函数的定义域为，且在上单调递增
∴在定义域内单调递增．
若实数满足，即
故有，解得，所以的取值范围为.
故选：D
【题型十二】利用奇偶性求抽象函数恒成立参数
【典例分析】
已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）
【答案】B
【解析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：时，，根据增函数的定义推得函数在上是增函数，从而求得最大值为，然后将已知不等式先对恒成立，再对恒成立，就可以求出的范围
【详解】解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，
所以，
所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，
即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
令，则，即，解得或，故选：B
【变式训练】
1.已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则为定义在上的奇函数且为减函数，而等价于，利用性质去掉对应法则后得到恒成立，从而可求实数的取值范围.
【详解】令，则在上单调递减，又，
故，所以为定义在上的奇函数，
故在上为减函数.
由恒成立，得恒成立，即恒成立，可得恒成立，
即恒成立，所以实数的取值范围为.
故选：B.
2..已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据是偶函数可以得出函数的对称轴，再根据函数在上单调递减可以得出函数在上的单调区间，从而解出不等式对任意的恒成立时的取值范围．
【详解】是偶函数，所以得出函数的对称轴为，又因为函数在上单调递减，所以在上单调递增．因为，所以．因为不等式对任意的恒成立，所以．选择A
3.已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________.
【答案】
【分析】利用赋值法证明函数是偶函数，再证明函数在上是减函数，最后构造函数，利用在上是减函数，解不等式，即可得到答案；
【详解】解：中，
取得，取得，
取，，得，所以是偶函数，
设，则，，
所以，
所以在上是减函数，
设，是偶函数，且在上是减函数，
，，
所以，
且，所以m的取值范围是.
故答案为：.
【题型十三】利用奇偶性求最值与范围
【典例分析】
若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】B
【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.
【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．
故选:B
【变式训练】
1.已知是偶函数，当时，，若当时，恒成立，则的最小值为( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质求出函数在的解析式，进而求出函数在的值域，由不等式恒成立，得到关于的范围.
【详解】设，则.
有，又
∴当时，
∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，
依题意，恒成立，
则，即故的最小值为1.
2.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据推出周期为4，再根据奇函数推出时的表达式，再根据周期性推出时的表达式，再用二次函数求最小值.
【详解】由题意知，即，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，且是定义在上的奇函数，
∴时，，
∴当时，，
所以当时，函数的最小值为．
故选：B．
3..函数是定义域为的奇函数，且，已知，，则函数的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【答案】B
【解析】先由函数是定义域为的奇函数，求得的解析式，进而得到的解析式，再由可得函数是以4为周期的函数，则与的也是以4为周期的函数，只需求出在上的最小值即可.
【详解】设 ，则，所以 ，因为函数是定义域为的奇函数，
所以，所以，又，
所以，所以，所以该函数的最小值为-1.故选：B
【题型十四】利用奇偶性质推导周期
【典例分析】
设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．的一个周期为8
【答案】C
【分析】由、可推出的周期为8，利用对称性、周期性求、判断奇偶性及时的单调性，即可得答案.
【详解】由题设，，则关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知的周期为8，D正确；
，A正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；
由时递增，则时递增，显然C错误.
故选：C
【变式训练】
1.函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B错误；由推导得到，知A正确；由已知关系式无法推导得到，知CD错误.
【详解】是奇函数，；
是偶函数，，
，，
，，
是周期为的周期函数，B错误；
，，是偶函数，A正确；
，，无法得到，C错误；
，无法得到，D错误.
故选：A.
2.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
3.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由是奇函数，可得，由是偶函数，可得，令，，结合，可求出的值，然后结已知条件对化简可求得结果
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
从定义入手．，
，
所以．故选：．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【答案】B
【分析】利用奇函数、偶函数定义，举出函数实例，逐项分析判断作答.
【详解】奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．
故选：B
2.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．
【答案】0,0
【分析】根据函数在(－1,1)上是奇函数，利用及即可求解.
【详解】因为函数在(－1,1)上是奇函数，
所以f(0)＝0，解得m＝0.
由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，
解得n＝0.
故答案为：0，0
3.函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先研究函数的奇偶性排除B，再根据的解排除D，根据确定答案.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
,所以为奇函数，排除B；
当时，，排除D；
当时，，故选A.
故选：A
4.已知定义域为R的函数满足：对任意，恒成立，则函数（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】C
【解析】利用赋值法，再根据函数的奇偶性定义，即可求解.
【详解】令，则，
令，则，
令，则，即，
所以函数既是奇函数又是偶函数.故选：C.
5.若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】由图象变换可得：把的图象向左平移1个单位关于原点对称．
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以将的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即是奇函数．
故选：C．
6.．是R上的奇函数，当时，，则时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性直接求出当时的函数解析式.
【详解】当时，，
当时，，则，
又为R上的奇函数，所以.
故选：C
7.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意可得,由此求出的值,可得的值.
【详解】为奇函数,为偶函数,且,
,即,
,则,
故选：A.
8.设是定义域为的奇函数，是偶函数.若，则（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，根据题意可得，变形即可得出结果.
【详解】由为R上的奇函数，得，且，
由为偶函数，得图象关于直线对称，则，
所以，即，
则，即，
所以函数是周期为4的周期函数，
又，由，得
所以.
故选：C
9.已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．2022
【答案】A
【分析】根据是定义域上的奇函数，结合条件化简，可得出函数的周期，再计算出的值，发现，且呈周期出现，代入计算即可.
【详解】,又，
，函数的周期.
又函数是定义域为R的奇函数，，
，，
，又
.
故选：A.
10.设是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．
【详解】即时，，，即，可得，
当时，，，
因此即时，，，所以，
综上，不等式的解集为或．
故选：C．
11.．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】计算得到函数解析式为，画出函数图像，根据图像得到函数单调递增，故，解得答案.
【详解】当时，，，故，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知，函数单调递增，，即，解得.
故答案为：.
12.已知函数上上单调递减，且对任意实数，都有.若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件令和令得，可知是奇函数，由得，
再根据函数上上单调递减求解不等式可得解.
【详解】因为，令得，再令，得，
所以，又的定义域是R，所以是奇函数，
因为，所以，
又因为函数在上单调递减，故对任意，，
若，即有，解得．故选C．
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，若存在实数，使在上的值域为，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由已知画出函数的图象且得，分和两种情况进行讨论，利用函数的单调性可得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，如图，
由区间概念可推知，得，
（1）当时，，从而，即，所以，由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，所以，，即；
（2）当时，，从而，即，所以，
由图得在上为减函数，所以，这两个关系等价于“，是方程的两个根，且”，
由方程，得，解得，，
解得，，即，故选：D.
14.已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
【答案】C
【分析】由周期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.
【详解】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，
故选：C.
培优第二阶——能力提升练
1.下列命题正确的是（ ）
A．奇函数的图象关于原点对称，且
B．偶函数的图象关于y轴对称，且
C．存在既是奇函数又是偶函数的函数
D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断．
【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；
函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；
奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.
故选：C.
2.若函数为奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】首先根据奇函数的定义域必须关于原点对称求得，再验证时是否满足题意，最后求解.
【详解】因为函数为奇函数，
所以定义域必须关于原点对称，
由题意得：即，
所以，
又当时，
满足，函数是奇函数.
所以成立
故选：A
3.已知函数，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.
【详解】因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；
又因为，可排除选项.
故选：A.
4.已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则（ ）
A．（1）且为偶函数
B．且为奇函数
C．为增函数且为奇函数
D．为增函数且为偶函数
【答案】A
【分析】令，可得，令，可得，令，换，可得，从而可得结论
【详解】函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，
当时，
可得（1）（1）（1），．
令，可得（1），
令，换，
可得．
函数是偶函数．
故选：A．
5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义，进行判断即可得解.
【详解】对A，不是奇函数；
对B，（）为奇函数；
对C，不是奇函数，
对D，不是奇函数，故选：B．
6..已知是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的解析式是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设，则，然后根据时函数的解析式及为偶函数即可求解．
【详解】由题意，设，则，
时，，，
是定义在R上的偶函数，
，，，
故选C．
7..已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】B
【分析】先构造出的解析式,然后根据奇偶性得到的解析式,最后联立方程组求解解析式,即可计算的值.
【详解】因为,所以,
又因为分别是偶函数和奇函数，所以,
所以,所以,
所以,
故选B.
8.已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】代入，和，利用奇函数的性质，两式相加求值.
【详解】,①,
和 都是奇函数，
即 ②
①+②可得
.
故选A.
9.设的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．不确定
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得函数的性：质，且，借助此性质计算作答.
【详解】上的函数，由是奇函数，得，，
由是偶函数，得，即，于是得，
因此，，由得，
则，
所以.
故选：B
10.已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，再考虑和两种情况，解不等式得到答案.
【详解】当时，，.
当时，，即，解得，故；
当时，，即，解得或，故.
综上所述：.
故选：B.
11.为定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立.则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】对一切成立，须即可，求出时，的解析式，即可求解.
【详解】为定义在R上的奇函数，，
当，，
当且仅当时，等号成立，对一切成立，，解得.
故答案为:.
12.已知定义在R上的奇函数f（x），且对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．若存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣3，2） B．[﹣3，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1]
【答案】A
【分析】利用奇函数性质不等式变为，条件（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0说明函数是减函数，从而得，即，只要小于的最大值即可．
【详解】∵对任意实数x1，x2，x1≠x2时，都有（f（x1）﹣f（x2））•（x1﹣x2）＜0．∴函数是减函数，
又是奇函数，∴不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0可变为，即，∴，即，
∵存在实数x∈[﹣3，3]，使得不等式f（a﹣x）+f（a2﹣x）＞0成立，
当x∈[﹣3，3]时，的最大值是6，∴，解是．
故选：A．
13.偶函数的定义域为，则的最小值
A．-3 B．3 C．-8 D．8
【答案】C
【分析】由偶函数的性质可先求得，再由定义域关于原点对称求得，进而可求的值域
【详解】为偶函数，，由可得；又定义域关于原点对称，故，解得，，当时，
故选C
14.函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
培优第三阶——培优拔尖练
1..已知上函数 ，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.
【详解】取，则，但，
所以函数不是奇函数；
故“”推不出“函数为奇函数”，
若函数为奇函数，则即，
故“函数为奇函数”能推出“”.
故选：B.
2.设.若函数，的定义域是.则下列说法错误的是
A．若，都是增函数，则函数为增函数
B．若，都是减函数，则函数为减函数
C．若，都是奇函数，则函数为奇函数
D．若，都是偶函数，则函数为偶函数
【答案】C
【分析】根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案．
【详解】根据题意可知，，
则，据此依次分析选项：
对于A选项，若函数、都是增函数，可得图象均为上升，则函数为增函数，A选项正确；
对于B选项，若函数、都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数
为减函数，B选项正确；
对于C选项，若函数、都是奇函数，则函数不一定是奇函数，如，，可得函数不关于原点对称，C选项错误；
对于D选项，若函数、都是偶函数，可得它们的图象都关于轴对称，则函数
为偶函数，D选项正确．故选C．
3.奇函数，，当时，，则函数的图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，利用奇函数的定义求出的解析式，可得在上的解析式，从而得到的解析式，从而得到它的图象．
【详解】解：奇函数，当时，．设，则，，，
．综上可得，，故，
即可得函数图象为
即选项满足条件；故选：．
4.已知函数对任意的实数，，都有，且.则此函数一定（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．函数图象关于直线对称 D．函数图象关于点对称
【答案】B
【解析】令得，令，，得，可得解.
【详解】对任意实数，，都有且，
则令，即，解得，
再令，，则，则.
根据函数性质可知：为偶函数.故B正确，A不正确，选项C、D条件不够推不出来.
故选：B.
5.已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.
【答案】10
【解析】先分析出是偶函数且，然后即可求出所有的的值
【详解】因为
所以
所以是偶函数若则或
解得或2或4又因为所以当时也成立
故满足条件的所有整数的和是故答案为：10
6.已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据得到函数的最小正周期为2,由当时, ,求出的解析式,再由是定义在R上的偶函数,求出的解析式,再将的图象向左平移2个单位即得的图象,合并并用绝对值表示的解析式即可.
【详解】，，故，即是最小正周期为2的函数.
当时，则，由题意，即；
又是定义在R上的偶函数,故，即；
令，则，故，即
故当时，函数的解析式为:.
故选：B
7.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【解析】用替换原式中的，可得，利用奇偶性可得，与相减即可求，进而可得的值.
【详解】因为①，
所以，
因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以②，
②-①得：，所以，所以，
故选：C
8.．已知函数为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．-5 C．-1 D．-3
【答案】B
【分析】由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.
【详解】.
故选:.
9.我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图像关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数，若的对称中心为，则（ ）
A． B． C．8084 D．8086
【答案】A
【分析】先根据题意及的特点，构造出，并得到其为奇函数，从而，求出结果为.
【详解】令，则
则，
所以为奇函数，
所以的图象关于对称，
所以，
故，
且，
所以.
故选：A
10.．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断出的图象关于直线对称，及在单调递减，上单调递增，利用单调性直接解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称.因为在上单调递减，所以在上单调递增.
因为，所以.
所以当时，；当时，．
由，得或解得．
故选：C
11.．是定义在上的偶函数，且时，，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据题意求得，把不等式转化为，即，结合题意，分、和，三种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，当时，则，
因为函数为偶函数，可得，
因为时，，所以，
又由，即，即，即，
因为时，不等式恒成立，
当时，,满足条件；
当时，不等式解得或，则满足或，解得；
当时，不等式解得或，则满足或，解得，
综上可得或或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
12.设函数在（，+）上有意义，对任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，并且函数的对称中心是（1，0），若函数=x，则不等式g+g<0的解集是（ ）
A．（，1）（2，+） B．（1，2）
C．（，1）（2，+） D．（1，2）
【答案】A
【分析】由已知条件可知为奇函数，从而可得也为奇函数，然后结合<|xy|，可得在上单调递增，结合单调性和奇函数的定义可得，从而可求出不等式的解集
【详解】解：由函数的对称中心是（1，0），可得函数的图像关于对称，所以为奇函数，
所以，因为，所以，所以，所以为奇函数，因为对任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，所以，
所以，即，所以，所以对任意的x，y∈R且x≠y，，所以在上单调递增，因为g+g<0，所以，
所以，即，解得或故选：A
13..定义在上的偶函数和奇函数满足，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，由此可得出结果.
【详解】因为定义在上的偶函数和奇函数满足，
所以，
所以，解得.
因为，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以在上的最大值为.
故选：D.
14.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过是奇函数和是偶函数可以确定函数的解析式与周期，进而求出结果.
【详解】因为是奇函数，所以①，且关于点对称，
因为是偶函数，所以②，且关于对称，
所以的周期为，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以.
故选：B
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