数学03卷（人教A版2019）（范围：集合逻辑不等式函数导数数列计数原理统计）-2022-2023学年高二下学期期末考前必刷卷（全解全析）

2022-2023学年高二下学期期末考前必刷卷03

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知集合，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】或，

则集合不具有包含关系，故A错误；

，故B错误；

，则不具有包含关系，故C错误；

，故D正确.

故选：D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】由，得或；由，得，

则“”是“”的必要不充分条件．

故选：C

3．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B．4 C．1 D．

【答案】B

【详解】随机变量服从正态分布，则，

若，则，解得.

故选：B.

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，，，所以．

故选：C.

5．记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设公差为，

则，，

，

所以时，取得最小值．

故选：A．

6．地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中M为震级，E为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（    ）倍（参考数据，）

A．100 B．120 C．125 D．160

【答案】C

【详解】设3.6级地震的地震能量为，5.0级地震的地震能量为，

由题意可得，两式相减得，

因为2.1更接近于2.09，可得，

结合选项可知：所以第一次地震能量大约是第二次地震能量的125倍.

故选：C.

7．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【详解】由，

可得，，，，

所以，

所以，

所以前项和，

所以，

故选：C.

8．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设直线为曲线在点处的切线，，

所以，即；

设直线为曲线在点处的切线，，

所以，即，

由题意知，因为，

由可得，

将其代入可得：，

显然，整理得.

记且，则，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，则，即，

化简得，解得.

故选：D.

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）

9．下列命题正确的是（    ）

A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强；

B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好；

C．对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大；

D．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是.

【答案】ABD

【详解】A. 因为乙数据的相关系数的绝对值为，比甲数据的相关系数的绝对值0.66大 ，所以乙组数据的线性相关性更强，所以该选项正确；

B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；

C. 对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越小，所以该选项错误；

D. 由题得，所以样本中心点满足方程，所以，所以该选项正确.

故选：ABD

10．下列函数中，最小值为的函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】对于A，，（当且仅当，即时取等号），

的最小值为，A正确；

对于B，，（当且仅当，即时取等号），

的最小值为，B正确；

对于C，，，的最小值为，C正确；

对于D，当时，，

令，在上单调递减，当时，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为，D错误.

故选：ABC.

11．已知数列 满足，，的前项和为，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【详解】由，，得，而，

因此数列是首项为，公比为2的等比数列，，

所以，B正确；

由，A正确；

，

则有2，

两式相减得，D错误；

由，C错误.

故选：AB

12．已知函数，.（    ）

A．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，

B．当且时，函数在上单调递增

C．当时，若函数有三个零点，则

D．当时，若存在唯一的整数，使得，则

【答案】BCD

【详解】A选项，，由题，，则，，故A错误；

B选项，当时，，.因，则.

或在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；

C选项，当时，令，

注意到当时，，则，则函数有三个零点，相当于直线与函数图象有三个交点.

令，其中.

.

令或在上单调递增；

或或或

在，

上单调递减，又，

则可得大致图象如下，则由图可得，当，

直线与函数图象有三个交点，即此时函数有三个零点，故C正确；

D选项，由题可得，，

即存在唯一整数，使 图象在直线下方.

则，，

得在上单调递减，在上单调递增，

又，过定点，

可在同一坐标系下做出与图象.又设过点切线方程的切点为，

则切线方程为：，因其过，

则或，又注意到

结合两函数图象，可知或2.

当时，如图1，需满足；

当时，如图2，需满足；

综上：，故D正确.

故选：BCD

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____．

【答案】[2，6]

【详解】由命题“”的否定为“”，

因为命题“”为假命题，则“”为真命题，

所以，解得，

则实数的取值范围是.

故答案为：.

14．若函数的值域为，则的取值范围是______ ．

【答案】

【详解】解： 的值域为，

∴， 解得或，

故答案为： ．

15．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的陦想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）如果是奇数，则将它乘3加1（即）.不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前既也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次岕现），则的所有不同值的个数为______.

【答案】6

【详解】如果正整数按照上述规则施行变换后第八项为1，

则变换中的第7项一定为2，

变换中的第6项一定为4，

变换中的第5项可能为1，也可能是8，

变换中的第4项可能是2，也可能是16，

变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16，

变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或10，变换中的第1项是128或21或20或3，

如图得到的反推结果：

故答案为：6

16．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【详解】因为，

所以，令，则，即为偶函数，

当时，即，

所以，即函数在上单调递增.

根据偶函数对称区间上单调性相同的性质可知在上单调递减，

又因为，所以，所以，，即，

故只需，即，

所以，解得.

故答案为：.

四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）

17．已知集合.

(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；

(2)若成立，求a的取值范围.

【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，

则B是A的真子集，而不为空集，

则（等号不同时成立），解得，

即m的取值范围是.

（2）设，

则，

∵，

∴，

由题意得，即，

即a的取值范围为.

18．甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．

(1)依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？

(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．

参考公式与临界值表：，．

【详解】（1）列联表：

，

根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；

（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，

所以X服从二项分布，即，∴，

由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，

，，

，．

所以Y的数学期望．

19．已知数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【详解】（1）①，

当时，，解得.

当时，②，

①-②，得，所以，

又，符合上式，故.

（2）由（1）知，则，

所以，

则

.

20．已知函数是定义在上的奇函数．

(1)求方程的解；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，

解得，所以，

即，则，符合题意，

由题可得，即，

所以，，

所以，负值舍去

即；

（2）由为奇函数得，

因为，

由复合函数的单调性知在定义域上单调递增，

所以，即，

当时，，当且仅当时等号成立，

因此，

所以的取值范围是

21．经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生产该产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本P(x)万元当年产量小于9万件时， (万元)；当年产量不小于9万件时，(万元)每件产品售价为6元，假若该企业生产的电子产品当年能全部售完

(1)写出年利润Q(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注:年利润=年销售收入固定成本流动成本)

(2)当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据: )

【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为，

由题意可得，当时，

，

当时，

，

；

（2）由（1）可知，当时，，

当且仅当时，等号成立，

当时，，则，

所以，当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

所以当时，取得最大值，

综上，当时，取得最大值16万元；

即当年产量约为20万件时，该小微企业的这一产品所获年利润最大，最大年利润是16万元.

22．已知函数.

(1)若时，求的单调区间；

(2)求在上的最小值.

【详解】（1）当时，的定义域为，求导得，

当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的递增区间为，递减区间为.

（2），函数，求导得，由，得，

当时，，当时取等号，因此函数在上单调递增，，

当时，由，得，由，得，

于是函数在上单调递增，在上单调递减，，

由，得，当时，，

当时，，当时，，

所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为.