还剩29页未读，
继续阅读
山东省威海市文登区2022-2023学年九年级上学期（五四学制） 数学期中试题(含答案)
展开
这是一份山东省威海市文登区2022-2023学年九年级上学期（五四学制） 数学期中试题(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省威海市文登区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）
1．sin45°的倒数是（ ）
A． B． C． D．1
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
3．对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2022）
B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称
D．图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，则y1＞y2
4．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板AB长为4米，支柱OH垂直地面．如图①，当AB的一端A接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为；如图②，当AB的另一端B接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，则支柱OH的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.8米 D．米
5．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
7．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则两脚张开的距离AB为（ ）
A．10sinα B．10cosα C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
y
﹣27
﹣13
﹣3
3
5
﹣3
下列结论：①a＜0；②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝0，x2＝2；③当x＞2时，y＜0，其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
9．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣40 B．40 C．80 D．﹣80
二．填空（共6题）
11．函数y＝+的自变量x的取值范围是 ．
12．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是 ．
13．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣1，当x＞1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为 ．
15．把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标 ．
16．在反比例函数（x＞0）的图象上，有n个点P1，P2，P3，…Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n（n为大于1的正整数）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次S1，S2，S3，…，Sn﹣1，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ ．
三、解答题（共8小题，满分0分）
17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．
18．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
19．如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线OA每一个截面均可得到两条关于OA对称的抛物线，如图2，以喷水池中心O为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
20．市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
22．浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
（1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
（2）该景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN（墙DM长为27米，墙DN足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当AB＝ 米时，游乐场的面积达到最大，最大为 平方米．
23．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）
1．sin45°的倒数是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】先利用特殊角的三角函数值得到sin45°＝，然后根据倒数的定义求解．
解：∵sin45°＝，
而的倒数为，
∴sin45°的倒数是．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【分析】根据正弦值的定义解决此题．
解：如图．
∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
∴sinA＝．
∴BC＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
3．对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2022）
B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称
D．图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，则y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
解：A、当x＝1时，y＝﹣2022，图象经过点（1，﹣2022），故A选项不符合题意；
B、∵k＝﹣2022＜0，∴图象在第二、四象限，故B选项不符合题意；
C、图象关于原点成中心对称，故C选项不符合题意；
D、∵k＝﹣2022＜0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x1＜0，x2＞0时，则y1＞y2，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板AB长为4米，支柱OH垂直地面．如图①，当AB的一端A接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为；如图②，当AB的另一端B接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，则支柱OH的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.8米 D．米
【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．
解：在Rt△AOH中，sinA＝＝，
∴OA＝2OH，
同理可得：OB＝3OH，
∵AB＝4米，
∴2OH+3OH＝4，
解得：OH＝0.8，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用等面积法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定义求出sin∠BAD即可．
解：法一：如图，连接AC，
在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴＝8，
即，
解得AD＝，
在Rt△ADB中，BD＝，
∴sin∠BAD＝．
法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
6．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故本选项正确；
②由对称轴可知：＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝a+b+c；
当x＝m时，y2＝m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2与y1的大小无法确定；
故本选项错误；
④当x＝1时，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，即（a+c）2﹣b2＝0，
∴（a+c）2＝b2
故本选项错误；
⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
当x＝1时，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∴a＝1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则两脚张开的距离AB为（ ）
A．10sinα B．10cosα C． D．
【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，利用等腰三角形的性质可得AB＝2BC，∠BOC＝∠AOB＝α，然后在Rt△COB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴AB＝2BC，∠BOC＝∠AOB＝α，
在Rt△COB中，OB＝10，
∴BC＝OB•sin＝10sin，
∴AB＝2BC＝20sin，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
y
﹣27
﹣13
﹣3
3
5
﹣3
下列结论：①a＜0；②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝0，x2＝2；③当x＞2时，y＜0，其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：①由图表中数据可知：x＝﹣1和3时，函数值为﹣3，所以，抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＝1时，y＝5最大，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，在（0，3）的对称点是（2，3），∴方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝0，x2＝2；故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为x＝1，（0，3）的对称点是（2，3），∴当x＞2时，y＜3；故③错误；
所以，正确结论的序号为①②
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
【分析】设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．
解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则
S＝x×（20﹣x）
＝﹣（x2﹣20x）
＝﹣（x﹣10）2+50 （8≤x≤15）
∵﹣＜0
∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50
∵墙长为15m
∴当x＝15时，S最小
S最小＝15××（20﹣15）＝37.5
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地根据实际问题列出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣40 B．40 C．80 D．﹣80
【分析】先分别令x＝0和y＝0求得点A与点B的坐标，然后过点C作CD⊥y轴于点D，构造相似三角形求得点C的坐标，再利用旋转的特征求得点C'的坐标，最后求出k的值．
解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
过点C作CD⊥y轴于点D，则∠CDB＝∠BOA＝90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CDB∽△BOA，
∴＝＝＝2，
∴CD＝8，BD＝6，
∴OD＝BD+OB＝6+4＝10，
∴C（8，10），
∵△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴经过旋转2022次后点C'落在第三象限，
∴C'（﹣8，﹣10），
∵点C'在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣8×（﹣10）＝80，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是过点C作CD⊥y轴于点D构造相似三角形求出点C的坐标．
二．填空（共6题）
11．函数y＝+的自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠1 ．
【分析】根据二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0，求公共解集．
解：根据题意，得x+3＞0，x﹣1≠0，
解得x＞﹣3，x≠1，
∴自变量x的取值范围是x＞﹣3且x≠1，
故答案为：x＞﹣3且x≠1．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0是解题关键．
12．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．
解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0，
解得a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
13．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣1，当x＞1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
解：∵函数的对称轴为x＝m，
又∵二次函数开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵x＞1时，y随x的增大而减小，
∴m≤1．
故答案为：m≤1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要能准确判断出函数的对称轴．
14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为 （200﹣20）米 ．
【分析】根据题意，作BE⊥MD于点E，然后根据锐角三角函数，可以得到AM，DE的长，然后即可计算出CD的长．
解：作BE⊥MD于点E，如图所示，则四边形ABEM是矩形，
∴ME＝AB，AM＝BE
由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，
∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，
∵tanα＝2，
∴＝2，
∴AM＝200米，
∴BE＝200米，
∵tan∠BDE＝，
∴tan30°＝＝，
解得DE＝200米，
∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）（米），
故答案为：（200﹣20）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标 （4，﹣2） ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
解：把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为y＝2（x﹣2﹣2）2﹣5+3，即y＝2（x﹣4）2﹣2，其顶点坐标为（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．在反比例函数（x＞0）的图象上，有n个点P1，P2，P3，…Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n（n为大于1的正整数）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次S1，S2，S3，…，Sn﹣1，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ （n为大于1的正整数 ） ．
【分析】利用平移法，将S1，S2，S3，…，Sn﹣1平移到最左边的长方形OAP1B中，可以看出S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝S长方形OAP1B﹣Sn．
解：由y＝得S长方形OAP1B＝OA×OB＝2，
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝S长方形OAP1B﹣Sn＝2﹣（n为大于1的正整数 ）．
故答案为：2﹣（n为大于1的正整数 ）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是利用“平移法”将所求面积和转化到同一个矩形中求解．
三、解答题（共8小题，满分0分）
17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：原式＝2×﹣1﹣
＝﹣1﹣（﹣1）
＝0．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
18．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 0.6 m．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；
（3）因为OA＝OB，由勾股定理求得OB，再根据AM＝OD+DM﹣OA便可求得结果．
解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），
∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，
∴EM＝DM+DE＝1.8（m），
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；
（3）∵OA＝OB＝＝3（m），
∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．
∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
19．如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线OA每一个截面均可得到两条关于OA对称的抛物线，如图2，以喷水池中心O为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论．
解：（1）设水柱所在抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）；
（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣1，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值．
20．市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；
（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
解：（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
∵斜坡CB的坡比为1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，∵CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
∴解得k＝1（负值舍去），
∴DM＝5（米），CM＝12（米）．
∴D处的竖直高度为5米；
（2）设DF＝12a米，则ME＝12a米，BF＝5a米，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝（12+12a）米，
∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣DM＝12+12a﹣5＝（7+12a）米．
在Rt△ADE中，
∵DF＝12a米，AF＝（7+12a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝＝＝，
∴解得a＝
∴AF＝7+12a＝7+12×＝28（米），
BF＝5a＝5×＝（米），
∴AB＝AF﹣BF＝28﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可．
解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
∴此函数解析式为：y＝8x+20；
（2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
即m＝1000，
故y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：t＝50；
（3）∵70﹣50＝20＞10，
∴当x＝20时，y＝＝50，
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃．
【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
22．浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
（1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
（2）该景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN（墙DM长为27米，墙DN足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当AB＝ 12 米时，游乐场的面积达到最大，最大为 360 平方米．
【分析】（1）设2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率为x，利用2021年的单价＝2019年的单价×（1﹣平均每年降低的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据矩形和等腰直角三角形的性质得出AB＝x米，AD＝BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米，①根据矩形和三角形的性质列方程即可得到结论；②再由矩形和三角形的面积公式可得y关于x的函数解析式，由函数的性质求最值．
解：（1）设2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率x，
依题意得：2.25（1﹣x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝（不合题意，舍去），
答：2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率为20%；
（2）设AB＝x米，
∵四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE，∠ADE＝∠DEC＝90°，
∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，
∴CE＝DE＝（x﹣2）米，
∴BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米＝（60﹣3x）米，
①根据题意得：x（60﹣3x）+x2＝320，
解得x1＝8，x2＝16，
∵60﹣3x≤20，
∴11≤x≤20，
∴x＝16，
答：当AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；
②设面积为y平方米，
根据题意得：y＝x（60﹣3x）+x2＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣12）2+360，
∵60﹣3x＜20，
∴11≤x＜20，
∴当x＝12时，y有最大值，最大值为360．
故答案为：12，360．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握矩形和等腰直角三角形的性质得出函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
23．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值．
解：（1）①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E（8，1），
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y＝；
②当y＝4时，x＝2，
∴F（2，4），
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴OG＝；
（2）∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4﹣＝﹣m2+4m+16＝﹣（m﹣2）2+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理，配方法求代数式的最值等知识，表示出四边形OAEF的面积是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；
（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；
（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
解：（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，
对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，
∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝OB，
∴OB＝4，B（0，4），
设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，
Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴sin∠ABO＝＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：
①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：
∵S△AOP：S△COP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝1：3，
∴PQ：CH＝1：3，
而C（2，6），即CH＝6，
∴PQ＝2，即yP＝2，
在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：
∵S△COP：S△AOP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝2：3，
∴PQ：CH＝2：3，
∵CH＝6，
∴PQ＝4，即yP＝4，
在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，
∴x＝0，
∴P（0，4）；
综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；
（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，
∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），
∴AN的中点为（，），OC中点为（，），
∴，解得，
∴N（6，6），
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
解得，
∴N（﹣2，6），
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，
解得，
∴N（﹣6，﹣6），
综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．
【点评】本题考查二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、顶点坐标、与坐标轴交点、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是根据已知列方程组求解．
2022-2023学年山东省威海市文登区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）
1．sin45°的倒数是（ ）
A． B． C． D．1
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
3．对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2022）
B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称
D．图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，则y1＞y2
4．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板AB长为4米，支柱OH垂直地面．如图①，当AB的一端A接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为；如图②，当AB的另一端B接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，则支柱OH的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.8米 D．米
5．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
7．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则两脚张开的距离AB为（ ）
A．10sinα B．10cosα C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
y
﹣27
﹣13
﹣3
3
5
﹣3
下列结论：①a＜0；②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝0，x2＝2；③当x＞2时，y＜0，其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
9．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣40 B．40 C．80 D．﹣80
二．填空（共6题）
11．函数y＝+的自变量x的取值范围是 ．
12．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是 ．
13．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣1，当x＞1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为 ．
15．把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标 ．
16．在反比例函数（x＞0）的图象上，有n个点P1，P2，P3，…Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n（n为大于1的正整数）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次S1，S2，S3，…，Sn﹣1，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ ．
三、解答题（共8小题，满分0分）
17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．
18．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
19．如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线OA每一个截面均可得到两条关于OA对称的抛物线，如图2，以喷水池中心O为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
20．市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
22．浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
（1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
（2）该景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN（墙DM长为27米，墙DN足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当AB＝ 米时，游乐场的面积达到最大，最大为 平方米．
23．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）
1．sin45°的倒数是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】先利用特殊角的三角函数值得到sin45°＝，然后根据倒数的定义求解．
解：∵sin45°＝，
而的倒数为，
∴sin45°的倒数是．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【分析】根据正弦值的定义解决此题．
解：如图．
∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
∴sinA＝．
∴BC＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
3．对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2022）
B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称
D．图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，则y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
解：A、当x＝1时，y＝﹣2022，图象经过点（1，﹣2022），故A选项不符合题意；
B、∵k＝﹣2022＜0，∴图象在第二、四象限，故B选项不符合题意；
C、图象关于原点成中心对称，故C选项不符合题意；
D、∵k＝﹣2022＜0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x1＜0，x2＞0时，则y1＞y2，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
4．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板AB长为4米，支柱OH垂直地面．如图①，当AB的一端A接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为；如图②，当AB的另一端B接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，则支柱OH的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.8米 D．米
【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．
解：在Rt△AOH中，sinA＝＝，
∴OA＝2OH，
同理可得：OB＝3OH，
∵AB＝4米，
∴2OH+3OH＝4，
解得：OH＝0.8，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用等面积法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定义求出sin∠BAD即可．
解：法一：如图，连接AC，
在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴＝8，
即，
解得AD＝，
在Rt△ADB中，BD＝，
∴sin∠BAD＝．
法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
6．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故本选项正确；
②由对称轴可知：＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝a+b+c；
当x＝m时，y2＝m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2与y1的大小无法确定；
故本选项错误；
④当x＝1时，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，即（a+c）2﹣b2＝0，
∴（a+c）2＝b2
故本选项错误；
⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
当x＝1时，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∴a＝1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为α，OA＝OB＝10，则两脚张开的距离AB为（ ）
A．10sinα B．10cosα C． D．
【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，利用等腰三角形的性质可得AB＝2BC，∠BOC＝∠AOB＝α，然后在Rt△COB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴AB＝2BC，∠BOC＝∠AOB＝α，
在Rt△COB中，OB＝10，
∴BC＝OB•sin＝10sin，
∴AB＝2BC＝20sin，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
y
﹣27
﹣13
﹣3
3
5
﹣3
下列结论：①a＜0；②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝0，x2＝2；③当x＞2时，y＜0，其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：①由图表中数据可知：x＝﹣1和3时，函数值为﹣3，所以，抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＝1时，y＝5最大，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，在（0，3）的对称点是（2，3），∴方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝0，x2＝2；故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为x＝1，（0，3）的对称点是（2，3），∴当x＞2时，y＜3；故③错误；
所以，正确结论的序号为①②
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
【分析】设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．
解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则
S＝x×（20﹣x）
＝﹣（x2﹣20x）
＝﹣（x﹣10）2+50 （8≤x≤15）
∵﹣＜0
∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50
∵墙长为15m
∴当x＝15时，S最小
S最小＝15××（20﹣15）＝37.5
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地根据实际问题列出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作BC⊥AB，使BC＝2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第2022次旋转结束时，点C的对应点C′落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣40 B．40 C．80 D．﹣80
【分析】先分别令x＝0和y＝0求得点A与点B的坐标，然后过点C作CD⊥y轴于点D，构造相似三角形求得点C的坐标，再利用旋转的特征求得点C'的坐标，最后求出k的值．
解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
过点C作CD⊥y轴于点D，则∠CDB＝∠BOA＝90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CDB∽△BOA，
∴＝＝＝2，
∴CD＝8，BD＝6，
∴OD＝BD+OB＝6+4＝10，
∴C（8，10），
∵△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴经过旋转2022次后点C'落在第三象限，
∴C'（﹣8，﹣10），
∵点C'在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣8×（﹣10）＝80，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是过点C作CD⊥y轴于点D构造相似三角形求出点C的坐标．
二．填空（共6题）
11．函数y＝+的自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠1 ．
【分析】根据二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0，求公共解集．
解：根据题意，得x+3＞0，x﹣1≠0，
解得x＞﹣3，x≠1，
∴自变量x的取值范围是x＞﹣3且x≠1，
故答案为：x＞﹣3且x≠1．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0是解题关键．
12．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．
解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0，
解得a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
13．已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣1，当x＞1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
解：∵函数的对称轴为x＝m，
又∵二次函数开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵x＞1时，y随x的增大而减小，
∴m≤1．
故答案为：m≤1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要能准确判断出函数的对称轴．
14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为 （200﹣20）米 ．
【分析】根据题意，作BE⊥MD于点E，然后根据锐角三角函数，可以得到AM，DE的长，然后即可计算出CD的长．
解：作BE⊥MD于点E，如图所示，则四边形ABEM是矩形，
∴ME＝AB，AM＝BE
由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，
∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，
∵tanα＝2，
∴＝2，
∴AM＝200米，
∴BE＝200米，
∵tan∠BDE＝，
∴tan30°＝＝，
解得DE＝200米，
∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）（米），
故答案为：（200﹣20）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点坐标 （4，﹣2） ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
解：把二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新抛物线解析式为y＝2（x﹣2﹣2）2﹣5+3，即y＝2（x﹣4）2﹣2，其顶点坐标为（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．在反比例函数（x＞0）的图象上，有n个点P1，P2，P3，…Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n（n为大于1的正整数）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次S1，S2，S3，…，Sn﹣1，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ （n为大于1的正整数 ） ．
【分析】利用平移法，将S1，S2，S3，…，Sn﹣1平移到最左边的长方形OAP1B中，可以看出S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝S长方形OAP1B﹣Sn．
解：由y＝得S长方形OAP1B＝OA×OB＝2，
∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝S长方形OAP1B﹣Sn＝2﹣（n为大于1的正整数 ）．
故答案为：2﹣（n为大于1的正整数 ）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是利用“平移法”将所求面积和转化到同一个矩形中求解．
三、解答题（共8小题，满分0分）
17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：原式＝2×﹣1﹣
＝﹣1﹣（﹣1）
＝0．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
18．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 0.6 m．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；
（3）因为OA＝OB，由勾股定理求得OB，再根据AM＝OD+DM﹣OA便可求得结果．
解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），
∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，
∴EM＝DM+DE＝1.8（m），
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；
（3）∵OA＝OB＝＝3（m），
∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．
∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
19．如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线OA每一个截面均可得到两条关于OA对称的抛物线，如图2，以喷水池中心O为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．
（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论．
解：（1）设水柱所在抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）；
（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣1，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值．
20．市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；
（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
解：（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
∵斜坡CB的坡比为1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，∵CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
∴解得k＝1（负值舍去），
∴DM＝5（米），CM＝12（米）．
∴D处的竖直高度为5米；
（2）设DF＝12a米，则ME＝12a米，BF＝5a米，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝（12+12a）米，
∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣DM＝12+12a﹣5＝（7+12a）米．
在Rt△ADE中，
∵DF＝12a米，AF＝（7+12a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝＝＝，
∴解得a＝
∴AF＝7+12a＝7+12×＝28（米），
BF＝5a＝5×＝（米），
∴AB＝AF﹣BF＝28﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可．
解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
∴此函数解析式为：y＝8x+20；
（2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
即m＝1000，
故y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：t＝50；
（3）∵70﹣50＝20＞10，
∴当x＝20时，y＝＝50，
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃．
【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
22．浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
（1）求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
（2）该景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN（墙DM长为27米，墙DN足够长），其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．
①当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？
②当AB＝ 12 米时，游乐场的面积达到最大，最大为 360 平方米．
【分析】（1）设2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率为x，利用2021年的单价＝2019年的单价×（1﹣平均每年降低的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据矩形和等腰直角三角形的性质得出AB＝x米，AD＝BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米，①根据矩形和三角形的性质列方程即可得到结论；②再由矩形和三角形的面积公式可得y关于x的函数解析式，由函数的性质求最值．
解：（1）设2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率x，
依题意得：2.25（1﹣x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝（不合题意，舍去），
答：2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率为20%；
（2）设AB＝x米，
∵四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE，∠ADE＝∠DEC＝90°，
∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，
∴CE＝DE＝（x﹣2）米，
∴BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米＝（60﹣3x）米，
①根据题意得：x（60﹣3x）+x2＝320，
解得x1＝8，x2＝16，
∵60﹣3x≤20，
∴11≤x≤20，
∴x＝16，
答：当AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；
②设面积为y平方米，
根据题意得：y＝x（60﹣3x）+x2＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣12）2+360，
∵60﹣3x＜20，
∴11≤x＜20，
∴当x＝12时，y有最大值，最大值为360．
故答案为：12，360．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握矩形和等腰直角三角形的性质得出函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
23．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值．
解：（1）①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E（8，1），
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y＝；
②当y＝4时，x＝2，
∴F（2，4），
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴OG＝；
（2）∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4﹣＝﹣m2+4m+16＝﹣（m﹣2）2+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，翻折的性质，勾股定理，配方法求代数式的最值等知识，表示出四边形OAEF的面积是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；
（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；
（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
解：（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，
对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，
∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝OB，
∴OB＝4，B（0，4），
设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，
Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴sin∠ABO＝＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：
①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：
∵S△AOP：S△COP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝1：3，
∴PQ：CH＝1：3，
而C（2，6），即CH＝6，
∴PQ＝2，即yP＝2，
在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，
∴x＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：
∵S△COP：S△AOP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝2：3，
∴PQ：CH＝2：3，
∵CH＝6，
∴PQ＝4，即yP＝4，
在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，
∴x＝0，
∴P（0，4）；
综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；
（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，
∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），
∴AN的中点为（，），OC中点为（，），
∴，解得，
∴N（6，6），
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
解得，
∴N（﹣2，6），
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，
解得，
∴N（﹣6，﹣6），
综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．
【点评】本题考查二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、顶点坐标、与坐标轴交点、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是根据已知列方程组求解．
相关试卷
山东省威海市文登区（五四学制）2023-2024上学期期中质量检测九年级数学试卷（含答案）： 这是一份山东省威海市文登区（五四学制）2023-2024上学期期中质量检测九年级数学试卷（含答案），文件包含2023-2024学年第一学期初三数学期中试题doc、答题纸doc、数学答案doc等3份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
山东省威海市文登区五四学制2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（含答案）： 这是一份山东省威海市文登区五四学制2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了本试卷共6页，共120分，如图，已知，按照以下步聚作图等内容，欢迎下载使用。
山东省威海市文登区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷（五四学制）： 这是一份山东省威海市文登区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷（五四学制），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
