山东省威海市乳山市（五四制）2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省威海市乳山市（五四制）2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部，不允许使用计算器，本次考试另设10分卷面分，如图，小明在M处用高等内容，欢迎下载使用。

你好！答题前，请仔细阅读以下说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟．
2．不允许使用计算器．
3．本次考试另设10分卷面分．
希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点B．图象位于第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．图象关于原点成中心对称
3．在中， ， ，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
4．若点，都在反比例函数的图像上，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点是函数图象上的一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为点，，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
A．1.6＜x1＜1.8B．2.0＜x1＜2.2C．1.8＜x1＜2.0D．2.2＜x1＜2.4
7．如图，小明在M处用高（即）的测角仪测得旗杆顶端B的仰角为，将测角仪沿旗杆方向前进到N处，测得旗杆顶端B的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A．B．C． D．
8．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）
11．若函数的图象过点，则此函数图象位于第 象限．
12．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则
13．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与x轴负半轴交于点C，则四边形的面积是 ．
14．如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为 ．
15．如图，点A在第一象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的正半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A，O之间（点C与A，O不重合），若的周长为m，则四边形的周长为 ．
16．如图，点A，B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1，为等边三角形，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）
17．计算：．
18．如图，函数与的图象交于点A，，连接．
(1)直接写出k和b的值： ， ；
(2)若，求x的取值范围；
(3)在函数的图象上存在点P，使得直线能将的面积二等分，直接写出点P的坐标： ．
19．商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，坡角，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
20．某班同学参加社会行业体验及公益活动，准备以每斤6元的价格购进一批水果进行销售，并将所得利润捐给孤寡老人．所购水果每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）间的关系如下表：
(1)求每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）间的函数表达式；
(2)若水果的进货成本每天不超过960元，每天还要获得最大利润，求水果的销售单价及最大利润．
21．已知关于x的二次函数．
(1)若该函数图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且经过点，求的面积；
(2)若将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
22．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示．
(1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式．
(2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．
23．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
24．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接．
(1)___________，___________．
(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标．
含答案与解析
1．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，将抛物线一般式配方为顶点式，可求抛物线顶点坐标．
【详解】解：配方得：，
∴抛物线顶点坐标为．
故选：B．
2．C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断．
【详解】A、把x=-1代入y=得y=-2，则点（1，2）在y=的图象上，所以A选项的说法正确；
B、k=2＞0，则双曲线y=的两支分别位于第一、第三象限，所以B选项的说法正确；
C、当时，随的增大而减小，所以C选项的说法错误；
D、图象关于原点成中心对称，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3．B
【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值．
【详解】解：如图：
∵，
∴可以假设，，
∴
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的坐标特征．解题的关键是利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把代入解析式即可求得的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图像上，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】根据反比例函数k的几何意义直接可得答案．
【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得四边形ABOC的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
6．B
【分析】根据表格即可直接得出答案．
【详解】解：由表格可知当x＝2.0时，y＝−0.20＜0，当x＝2.2时，y＝0.22＞0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1的取值范围是2.0＜x1＜2.2，
故选B．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，找到 y 由正变为负时,自变量的取值是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，求出，得到是等腰三角形，从而求出的长，然后在中，求出的长，然后求出的长．
【详解】如图，
∵，
∴，
∴米，
在中，，
即米，
∴
故选：D
8．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质．时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．先根据函数图象所在的象限判断出的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【详解】解：由图知，的图象在第三象限，，的图象在第四象限，
∴，
又当时，有，
∴．
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，根据对称性求出抛物线经过点，则当时，，熟知抛物线上函数值相同的两点关于抛物线对称轴对称是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点，
∴抛物线经过点，
∴当时，，
故选A．
10．C
【分析】过作轴于，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，根据三角形的面积即可求出答案．
【详解】解：过作轴于，
，，
，
由勾股定理得：，
①当时，如图所示，，，；
②时，，，．
故选．
【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
．
11．一、三
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出的值，然后根据反比例函数的性质判断图象的位置．
【详解】解：根据题意得，
所以反比例函数得图象分布在第一、三象限．
故答案为：一、三．
12．
【分析】根据勾股定理求出的长度，过点B作于点D，根据面积法求出，再根据公式求出答案．
【详解】解：根据勾股定理得，，，
过点B作于点D，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求角度的正弦值，勾股定理求线段长度，正确掌握计算公式是解题的关键．
13．9
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，分别求出抛物线与x轴交点C的坐标，与直线的交点A，B坐标，得，再得四边形是梯形，求出其面积即可．
【详解】解：对于，令得，
解得，
∴，
∴
由和联立方程得，，
解得，
∴
∴；
又，
∴四边形的面积为：,
故答案为：9．
14．2
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形，先作于E，再根据，求得，再证明，最后根据，求得，并在等腰直角三角形中，由勾股定理求得即可．
【详解】解：作于E，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在等腰直角三角形中，由勾股定理得，
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据点A是抛物线的顶点得出，再由的周长为m可得出，再根据对称轴为直线得出，由此可得出结论．
【详解】解：∵点A是抛物线的顶点，
∴．
∵的周长为m，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：．
16．##
【分析】作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q，设，通过证得三角形相似求得N的坐标，进一步得到A的坐标，代入双曲线，得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而求得k的值．
【详解】解：作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q，
设，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴A是的中点，
∴，
∵点A、B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧），
∴
解得或，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A的坐标是解题的关键．
17．
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】
=
．
18．(1)，4
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形中线与面积的关系．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程组，求解方程组，得出点的坐标，根据函数图象即可写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围；
（3）求出线段的中点坐标，运用待定系数法求出的解析式．联立，求出交点P的坐标即可．
【详解】（1）把代入，得：
；
把代入，得：
∴，
故答案为：，4；
（2）由（1）知，，，
布局，得，
解得，；
∴,
∴根据图象得，当时，x的取值范围或；
（3）当直线经过线段的中点，即是的中线能将的面积二等分，
∵,
∴线段的中点坐标为，即，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去）
∴点P的坐标为：
故答案为：
19．水平距离增加的长度约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，根据正弦和余弦的定义求出，根据正切的定义求出，结合图形计算可得出答案．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
在中，．
∴．
所以水平距离增加的长度约为．
20．(1)
(2)水果的销售单价为13元时，可获得最大利润，最大利润为W最大=980
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）根据表格中的数据可知y与x之间的函数表达式符合一次函数的解析式，然后设出相应的表达式代入数据即可求得y与x之间的函数表达式；根据题意和y与x之间的函数表达式可以求得每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式；
（2）根据在问题（1）条件下，若水果的进货成本每天不超过960元，可以求得每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价，和该天的最大利润．
【详解】（1）设y与x之间的函数表达式是
由题意可得，
解得，
所以，y与x之间的函数表达式是：；
由题意可得，，
即每天销售利润W（元）与销售单价x（元/斤）之间的函数表达式为：；
（2）由题意得．
解得．
由得对称轴为：．
∵，．
∴水果的销售单价为13元时，可获得最大利润．此时，
即每天要想获得最大的利润，这种水果的销售单价是13元，该天的最大利润是980元．
21．(1)
(2)
【分析】主要考查了，待定系数法，函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法．
（1）由待定系数法确定函数关系式，将二次函数解析式转化为方程，然后解方程即可得到答案；
（2）根据顶点恰好落在y轴上，于是得到该函数图象的顶点横坐标为0．即可得到结论．
【详解】（1）∵该二次函数图象经过点，
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为．
令，则．
∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为．
令，则．
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为．
所以的面积是．
（2），
∴该函数的顶点坐标是，
∵顶点恰好落在y轴上，
∴该函数图象向左平移个单位．
∴
22．(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）
(2)个月
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用，
（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论；
正确的理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数，
设升级改造前y与x的函数表达式为，
当时，，
∴，即，
∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）；
当时，，
∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元，
∴，
∴升级改造后y与x的函数表达式为（且为整数），
∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）；
（2）在中，
当时，，
∵，
∴在该象限中，随的增大而减小，
∴时，，
在中，
当时，，
∴，
∴且为整数．
∴可取，，，，；共5个月．
∴资金紧张期共有个月．
23．(1)
(2)点M的坐标为或
【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴的交点坐标，运用待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质．
（1）先求出点A，B的坐标，再代入二次函数解析式，求出a，k的值即可；
（2）求得直线的解析式为，设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），分点D在直线上方和下方两种情况，根据平行四边形的性质列方程求出m的值即可解决问题
【详解】（1）对于直线，令则；
令则，解得，
∴，
把代入，得，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）对于，令，则，
解得，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，）．
∴或．
∵以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，，
∴．
∴或．
由，得
，．
由，得，
∴方程无解．
∴点M的坐标为或．
24．(1)1，
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即．
∵一次函数的图像过点，
∴，解得．
故答案为：1，；
（2）解：存在．理由如下：
若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：
①当点O为直角顶点时，
如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴
②当点B为直角顶点时，
如图，过点B作，且，连接，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
综上，点P的坐标为或．
（3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合），
∴设点，
则点，
则，
解得，（舍去），
故点C的坐标为．
【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键．
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
－0.80
－0.54
－0.20
0.22
0.72
x
10
11
12
13
14
…
y
200
180
160
140
120
…