山东省泰安市高新区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省泰安市高新区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制），共31页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝C．y＝D．y＝﹣1
2．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
3．（4分）反比例函数y＝（a＜b）的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）二次函数y＝2x2的图象平移后，得到二次函数y＝2（x+1）2﹣4图象，平移方法是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
5．（4分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75cmB．50cmC．30cmD．45cm
6．（4分）对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2022）
B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称
D．图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，则y1＞y2
7．（4分）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图是反比例函数y1＝和y2＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，点P（﹣5.5，0）在x轴上，则△PAB的面积为（ ）
A．3B．6C．8.2D．16.5
10．（4分）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠DAE的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（ ）
A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15）
B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6）
C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6）
D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5）
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：
①3a+b＝0；
②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；
③10b﹣3c＝0；
④若y≤c，则0≤x≤3；
⑤一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0，有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，满分24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）若锐角x满足cs（x﹣10°）＝，则x为 ．
14．（4分）下列函数：①y＝5x；②y＝﹣3x+2；③y＝，（x＜0）；④y＝3x2（x＜0），其中y的值随x的增大而减小的函数为 ．（填序号）
15．（4分）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
16．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
17．（4分）如图，小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为（0，），则实心球飞行的水平距离OB的长度为 m．
18．（4分）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…⃯，过A1、A2、A3、A4、A5⃯…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5⃯…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3⃯…面积分别为S1、S2、S3⃯…，按此作法进行下去，则S2023的值为 ．
三、解答题（共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）求下列各式的值：
（1）（sin30°﹣1）0﹣sin45°+tan60°cs30°；
（2）cs60°﹣2cs245°+tan230°﹣sin30°．
20．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
21．（12分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
22．（10分）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（12分）综合与探究：如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求出点B的坐标及△AOB的面积；
（3）在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，求PQ的最大值；
（3）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝C．y＝D．y＝﹣1
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：A、y＝2x是正比例函数，故错误；
B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
C、该函数是关于（x﹣1）的反函数，故本选项错误；
D、该函数是y﹣1关于x的反函数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，解决本题的关键是熟记反比例函数的定义．
2．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
【分析】根据正弦值的定义解决此题．
【解答】解：如图．
∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
∴sinA＝．
∴BC＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
3．（4分）反比例函数y＝（a＜b）的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质即可进行解答．
【解答】解：∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y＝（a＜b）的图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y＝，当k＞0时，图象位于第一象限和第三象限；当k＜0时，图象位于第二象限和第四象限．
4．（4分）二次函数y＝2x2的图象平移后，得到二次函数y＝2（x+1）2﹣4图象，平移方法是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝2（x+1）2﹣4的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
则由二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
5．（4分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75cmB．50cmC．30cmD．45cm
【分析】根据正切的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tanA＝，
则＝，
解得：AC＝75，
则斜坡的水平距离AC为75cm，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
6．（4分）对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2022）
B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称
D．图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2，则y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣2022，图象经过点（1，﹣2022），故A选项不符合题意；
B、∵k＝﹣2022＜0，∴图象在第二、四象限，故B选项不符合题意；
C、图象关于原点成中心对称，故C选项不符合题意；
D、∵k＝﹣2022＜0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x1＜0，x2＞0时，则y1＞y2，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
7．（4分）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出DC，AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【解答】解：如图所示：连接DC，
由网格可得出∠CDA＝90°，
则DC＝，AC＝，
故sinA＝＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝﹣，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9．（4分）如图是反比例函数y1＝和y2＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，点P（﹣5.5，0）在x轴上，则△PAB的面积为（ ）
A．3B．6C．8.2D．16.5
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B．设AB交y轴于C．
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y1＝和y2＝在x轴上方的图象上，
∴S△PAB＝S△AOB＝（2+4）＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
10．（4分）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠DAE的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
【解答】解：根据题意可得：在Rt△ABF中，有AB＝8，BC＝AF＝AD＝10，DE＝EF，
在△ABF中，由勾股定理可得BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
设DE＝x，则CE＝8﹣x，
在△ABF中，由勾股定理可得x＝，
解得x＝5，
故tan∠DAE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．（4分）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（ ）
A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15）
B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6）
C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6）
D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5）
【分析】根据各边之间的关系，可得出BC＝（20﹣2x）m，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式，再结合“墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m”，即可求出x的取值范围．
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，AB＝xm，
∴BC＝（20﹣2x）m．
根据题意得：S＝x（20﹣2x）．
∵墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m，
∴，
∴2.5≤x≤6，
∴S与x之间的函数表达式为S＝x（20﹣2x）（2.5≤x≤6）．
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：
①3a+b＝0；
②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；
③10b﹣3c＝0；
④若y≤c，则0≤x≤3；
⑤一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0，有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④，由图象可知一元二次方程ax2+bx+c＝1，有两个不相等的实数根，可判断⑤．
【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x＝﹣＝，
∴a＝﹣b，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x＝，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
由图象可知一元二次方程ax2+bx+c＝1，有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）若锐角x满足cs（x﹣10°）＝，则x为 40° ．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答．
【解答】解：∵cs（x﹣10°）＝，
∴x﹣10°＝30°，
解得：x＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．（4分）下列函数：①y＝5x；②y＝﹣3x+2；③y＝，（x＜0）；④y＝3x2（x＜0），其中y的值随x的增大而减小的函数为 ②③④ ．（填序号）
【分析】根据函数的增减性，逐一判断．
【解答】解：①对于y＝5x，y随x的增大而增大；
②对于y＝﹣3x﹣2，y随x的增大而减小；
③当x＜0时，函数y＝，y随x的增大而减小；
④y＝3x2，当x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，熟知一次函数、二次函数，反比例函数的性质是解题的关键．
15．（4分）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤且k≠1 ．
【分析】直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
16．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 25 海里（结果保留根号）．
【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt△BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．
【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cs∠APC＝，
∴PC＝PA•cs∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cs∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．
17．（4分）如图，小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为（0，），则实心球飞行的水平距离OB的长度为 8 m．
【分析】根据出手点A的坐标为（0，），求出函数关系式，再令y＝0可解得答案．
【解答】解：把A（0，）代入y＝﹣（x﹣3）2+k得：
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．
18．（4分）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5…⃯，过A1、A2、A3、A4、A5⃯…分别作x轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5⃯…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3⃯…面积分别为S1、S2、S3⃯…，按此作法进行下去，则S2023的值为 ．
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝2，
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，
∴S1＝2，S2＝S1＝1，S3＝S1＝，S4＝S1＝，S5＝S1＝，
依此类推：Sn的值为，
∴S2023＝，
故答案为：．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
三、解答题（共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）求下列各式的值：
（1）（sin30°﹣1）0﹣sin45°+tan60°cs30°；
（2）cs60°﹣2cs245°+tan230°﹣sin30°．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（sin30°﹣1）0﹣sin45°+tan60°cs30°
＝1﹣×+×
＝1﹣1+
＝；
（2）cs60°﹣2cs245°+tan230°﹣sin30°
＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣2×+×﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据正弦的定义得到sinB＝＝，可计算出AB＝6，则根据勾股定理计算出BC＝2，然后在Rt△ADC中，利用∠C＝45°得到CD＝4，于是BC＝BD+CD＝2+4；
（2）先根据三角形中线定义得到CE＝BC＝+2，则ED＝CE﹣CD＝﹣2，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
而AD＝4，
∴AB＝6，
∴BD＝＝2，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝2+4；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+2，
∴ED＝CE﹣CD＝﹣2，
在Rt△AED中，tan∠DAE＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
21．（12分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，y＝k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y＝6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知（k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．
（2）结合以上关系式，当y＝34时，由y＝6x+4得x＝5，从而求出撤离的最长时间，再由v＝速度．
（3）由关系式y＝知，y＝4时，x＝80.5，矿工至少在爆炸后80.5﹣7＝73.5（小时）才能下井．
【解答】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为y＝k1x+b（k1≠0），
由图象知y＝k1x+b过点（0，4）与（7，46），
则，
解得，
则y＝6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．
（不取x＝0不扣分，x＝7可放在第二段函数中）
∵爆炸后浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数关系式为（k2≠0）．
由图象知过点（7，46），
∴，
∴k2＝322，
∴，此时自变量x的取值范围是x＞7．
（2）当y＝34时，由y＝6x+4得，6x+4＝34，x＝5．
∴撤离的最长时间为7﹣5＝2（小时）．
∴撤离的最小速度为3÷2＝1.5（km/h）．
（3）当y＝4时，由y＝得，x＝80.5，
80.5﹣7＝73.5（小时）．
∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22．（10分）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（14，46）、（24，36）代入，
得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣x+60）＝﹣x2+74x﹣840，
∵﹣＝﹣＝37，
又∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜37时，W随x的增大而增大，
∵14≤x≤24，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为360，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
23．（12分）综合与探究：如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求出点B的坐标及△AOB的面积；
（3）在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）分别求出过点A、点B且垂直于直线y＝x+1的解析式，再令解析式中的x＝0计算函数值得到坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意，得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；
（3）存在这样的P点，P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．理由如下：
①过点A（1，2）且垂直于直线y＝x+1的直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴P（0，3）；
②过点B（﹣2，﹣1）且垂直于直线y＝x+1的直线解析式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴P（0，﹣3），
综上分析，满足以AB为直角边的直角三角形点P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
24．（10分）市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；
（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
∵斜坡CB的坡比为1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，∵CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
∴解得k＝1（负值舍去），
∴DM＝5（米），CM＝12（米）．
∴D处的竖直高度为5米；
（2）设DF＝12a米，则ME＝12a米，BF＝5a米，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝（12+12a）米，
∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣DM＝12+12a﹣5＝（7+12a）米．
在Rt△ADE中，
∵DF＝12a米，AF＝（7+12a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝＝＝，
∴解得a＝
∴AF＝7+12a＝7+12×＝28（米），
BF＝5a＝5×＝（米），
∴AB＝AF﹣BF＝28﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，求PQ的最大值；
（3）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标．
【分析】（1）先根据一次函数求出A（4，0），B（0，2），然后代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）连接PA，PB，过点P作PE⊥x轴交AB于点F，由可得当△PAB面积最大时，PQ的值最大，然后求出△PAB面积最大值即可得出结论．
（3）过点B作BE∥x轴，交抛物线于点E，过点D作DF⊥BE，证明△AOB∽△BFD，得出AO•DF＝BO•BF，设，则BF＝x，．得，求解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）在直线中，
令y＝0，得x＝4，
令x＝0，得 y＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式．
（2）如图1，连接PA，PB，过点P作PE⊥x轴交AB于点F，
∵A（4，0），B（0，2），
∴，
∵PQ⊥AB，
∴，
∴当△PAB面积最大时，PQ的值最大，
设，则，
∴，
∴S△PAB＝S△PBF+S△PAE
＝
＝
＝
＝2PF
＝
＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2 时，S△PAB取得最大值为4，
此时PQ的最大值为＝＝．
（3）如图2，过点B作BE∥x轴，交抛物线于点E，过点D作DF⊥BE，
∵BE∥x轴，
∴∠BAC＝∠ABE，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABE＝∠BAC，
∵∠AOB＝∠BFD＝90°，
∴△AOB∽△BFD，
∴，
即AO•DF＝BO•BF，
∵A（4，0），B（0，2），
∴AO＝4，BO＝2，
设，
则BF＝x，，
∴4×＝2x，
解得x1＝0 （不合题意，舍去），x2＝2，
当x＝2 时，y＝﹣x2+x+2＝3，
∴点D的坐标是（2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，动点最值问题，相似三角形的判定与性质，难度较大，属于中考压轴题，解题的关键是利用转化思想将PQ的最大值，转化为求出△PAB的面积最大值．