2022-2023高一第一学期清华附中展示课方案 - 函数奇偶性的应用

附学案

知识点一　函数奇偶性的性质

1.奇、偶函数代数特征的灵活变通.

由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝__或 (f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝__或(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．

2.函数奇偶性的重要结论.

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝___，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

答一答

1．   什么函数既是奇函数又是偶函数？

知识点二　函数奇偶性与单调性的联系

由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性____，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．

【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0.        (　      )

(2)若定义在R上的函数f(x)＝f(|x|),f(x)为偶函数   (　      )

(3)设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(-2)，f(-π)，f(3)的大小顺序是f(-2)>f(3)>f(-π)．                                                           (　      )

探究点一　利用函数奇偶性求解析式

例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式是 (　      )　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.f(x)=-x(x-2)   B.f(x)=x(|x|-2)

C.f(x)=|x|(x-2)   D.f(x)=|x|(|x|-2)

(2)已知f(x)=为偶函数,则a=　　,b=　　.

(3)已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式

为　　                　　　　　　　　. 

变式 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.

[素养小结]

利用奇偶性求函数解析式的注意事项:

(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内;

(2)将问题转化代入已知区间的解析式;

(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而求出f(x).

探究点二　奇偶性与单调性的简单应用

角度1　比较大小

例2 已知函数f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是 (　      )

A.f(-2)>f(0)>f(1)  B.f(-2)>f(-1)>f(0)

C.f(1)>f(0)>f(-2)  D.f(1)>f(-2)>f(0)

变式 已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,则f(3),f(-2),f(1)从小到大依次是　                              . 

[素养小结]

利用函数的奇偶性与单调性比较大小,需要注意看自变量是否在同一单调区间上.

(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;

(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.

角度2　解不等式

例3 (1)若定义域为R的奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,

则不等式f(2x-1)-f(x)<0的解集为 (     　 )

A.(-∞,1)   B.[0,1)  C.  D.(1,+∞)

(2)已知f(x)为偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 (　      )

A.{x|x>1}   B.{x|-1<x<0}    C.{x|x<-1或x>1}   D.{x|-1<x<0或x>1}

变式 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是 (　      )

A.(-∞,-2)∪(2,+∞)  B.(-2,2)  C.(2,+∞)  D.(-∞,-2)

(2)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且在(0,+∞)上是减函数,若f(2)=0,则≥0的解集是 (　      )

A.(-∞,-2]∪(0,2]  B.(-∞,-2]∪[2,+∞)   C.[-2,0)∪(0,2]  D.[-2,0)∪[2,+∞)

[素养小结]

利用函数奇偶性与单调性解不等式需注意:

(1)利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式;

(2)根据奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.

[课堂评测]

1. 设f(x)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x),则当x∈(-∞,0)时,f(x)=(　      )

A.x(1+x)   B.-x(1+x)   C.x(1-x)   D.-x(1-x)

2. 已知偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是 (　      )

A.f>f>f  B.f>f>f

C.f>f>f  D.f>f>f

3. 若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是 (　      )

A.{x|-1<x<0}  B.{x|x<0或1<x<2}

C.{x|0<x<2}  D.{x|1<x<2}

4. 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1+m)+f(m)<0,则实数m的取值范围为　     . 

5. 如果f(x)是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4,最小值2,那么函数f(x)在[-6,-3]上的最大值是　　　　,最小值是　　　　.