北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试单元测试课后练习题

这是一份北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试单元测试课后练习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cs A等于(B)
A． eq \f(BC,AB) B． eq \f(AC,AB) C． eq \f(BC,AC) D． eq \f(AC,BC)
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则sin C的值为(D)
A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,4) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5)
3．方程tan α＝ eq \f(\r(3),3) ，则锐角α＝(A)
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
4．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(3,5) ，则tan A＝(C)
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是(D)
A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,5) C． eq \f(5,3) D． eq \f(3,4)
6．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则sin B的值为(B)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(2,3)
7．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10 km到B处，再从B处向正西方向行驶20 km到C处，这时这艘船与A的距离为(C)
A．15 km B．10 km C．10 eq \r(3) km D．5 eq \r(3) km
8．为测量操场上篮筐的高AB，小明站在点Q处的眼睛P与地面的距离PQ为1.7 m，与AB的距离PC为2.5 m，若仰角∠APC为θ，则篮筐的高AB可表示为(A)
A．(1.7＋2.5tan θ) m B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.7＋\f(2.5,tan θ))) m
C．(1.7＋2.5sin θ) m D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.7＋\f(2.5,sin α))) m
9．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后
1 km”的问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1∶0.75的山坡CD的平台BC上(如图)，测得∠AED＝52.5°，BC＝5 m，CD＝35 m，DE＝19 m，则铁塔AB的高度约为(参考数据：sin 52.5°≈0.79，cs 52.5°≈0.61，
tan 52.5°≈1.30)(C)
A．7.6 m B．27.5 m C．30.5 m D．58.5 m
10.一张小凳子的结构如图所示，AB∥CD，∠1＝∠2＝α，AD＝50 cm，则小凳子的高度MN为(C)
A．50cs α cm B． eq \f(50,cs α) cm C．50sin α cm D． eq \f(50,sin α) cm
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cs A＝ eq \f(3,4) ，那么AB的长为__8__．
12．计算：sin 30°－2cs 230°＋(－tan 45°)2 020＝__0__．
13．在△ABC中，若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin A－\f(1,2))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs B－\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＝0，则∠C的度数是__120°__．
14．(2021·三明模拟)如图，点A(4，m)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝ eq \f(3,2) ，则m＝__6__．
15．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80 m，则河两岸之间的距离约为__54.6__ m．( eq \r(3) ≈1.73，结果精确到0.1 m)
16．某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处(A，C，D共线)同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，则BD的长为__2 eq \r(2) __km__．(结果保留根号)
三、解答题
17．(1)计算：2tan 45°－ eq \f(1,sin 30°) －2sin260°＋ eq \f(3,2) .
(2)计算： eq \r(12) ＋(2cs 60°)2 021－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2) －|3＋2 eq \r(3) |.
【解析】(1)原式＝2×1－ eq \f(1,\f(1,2)) －2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,2)
＝2－2－ eq \f(3,2) ＋ eq \f(3,2)
＝0.
(2)原式＝2 eq \r(3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(1,2))) eq \s\up12(2 021) －4－3－2 eq \r(3)
＝2 eq \r(3) ＋1－4－3－2 eq \r(3)
＝－6.
18.求证：若α为锐角，则sin2α＋cs2α＝1.
要求：①如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC(保留作图痕迹，不写作法)；
②根据①中所画图形证明该命题．
【解析】①如图，Rt△ABC即为所求．
②∵sinα＝ eq \f(BC,AB) ，cs α＝ eq \f(AC,AB) ，AB2＝BC2＋AC2，
∴sin2α＋cs2α＝ eq \f(BC2,AB2) ＋ eq \f(AC2,AB2) ＝ eq \f(BC2＋AC2,AB2) ＝ eq \f(AB2,AB2) ＝1.
19.(2020·淮安中考)如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8km，求A，B两点间的距离．(参考数据： eq \r(2) ≈1.4， eq \r(3) ≈1.7，结果精确到1 km)
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
在Rt△ACD中，AC＝8 km，∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，
∴CD＝AC·sin ∠CAD＝4 km，
AD＝AC·cs ∠CAD＝4 eq \r(3) ≈6.8 km.
在Rt△BCD中，CD＝4 km，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝4 km，
∴AB＝AD＋BD＝6.8＋4≈11(km).
答：A，B两点间的距离约为11 km.
20．如图1是一辆竖直放在水平地面上的电动滑板车，图2是其截面示意图．已知车杆AB＝75 cm，前、后车轮的圆心分别为点D，E，且半径均为6 cm，点A，B，D在同一条直线上，点D，C，E在同一水平线上．若BC＝20 cm，∠ABC＝130°，∠BCE＝120°，求把手A到地面的距离．(结果精确到1 cm.参考数据： eq \r(3) ≈1.73，sin 70°≈0.94，cs 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)
【解析】如图，过点A作AM⊥CE，垂足为M，交地面于点N，则MN＝6 cm，
∵∠ABC＝130°，∠BCE＝120°，
∴∠DBC＝180°－130°＝50°，∠BCD＝180°－120°＝60°，
在Rt△BCF中，BC＝20 cm，∠BCD＝60°，
∴FC＝ eq \f(1,2) ×20＝10(cm)，BF＝ eq \f(\r(3),2) ×20＝10 eq \r(3) (cm)，
∴∠D＝180°－50°－60°＝70°，
在Rt△BDF中，BD＝ eq \f(BF,sin D) ＝ eq \f(10\r(3),sin 70°) ≈18.4(cm)，
∴AD＝AB＋BD≈75＋18.4＝93.4(cm)，
在Rt△ADM中，AM≈AD·sin 70°≈93.4×0.94≈87.8(cm)，
∴AN＝AM＋MN≈87.8＋6＝93.8≈94(cm)，
答：把手A到地面的距离约为94 cm.
21.(2021·漳州期末)如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.65 m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°.若CF＝1.75 m，求有效测温区间EF的长度．
(参考数据：sin 24°≈0.41，cs 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)
【解析】如图，延长CB交AD于点G，则GD＝CF.
∴AG＝AD－CF＝2.65－1.75＝0.9(m).
在Rt△AGC中，
CG＝ eq \f(AG,tan 24°) ≈ eq \f(0.9,0.45) ＝2(m)，
在Rt△AGB中，
BG＝ eq \f(AG,tan 45°) ＝ eq \f(0.9,1) ＝0.9(m)，
∴BC＝CG－BG＝2－0.9＝1.1 m.
∴EF＝BC＝1.1 m.
答：有效测温区间EF的长度约为1.1 m．
22．如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且CI∥MN，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝36°，且五个角的两边(如AB＝AJ)都是1 m长，∠FEG＝∠FGE＝36°.求标志的高度(即点A到地面MN的距离).(结果精确到0.01 m，参考数据：sin 36°≈0.59，
cs 36°≈0.81，sin 18°≈0.31，cs 18°≈0.95)
【解析】如图，连接BJ，BD，JH，过点A作AK⊥BJ于点K并延长交EG于点L，
∵BJ∥EG，∴AL⊥EG，
∵AB＝AJ＝1 m，∠BAJ＝36°，
∴∠BAK＝18°，
∴BK＝AB·sin 18°≈1×0.31＝0.31(m)，∴BJ＝0.62 m，
∴BD＝JH＝BJ＝0.62 m，
∴AE＝AG＝1＋0.62＋1＝2.62(m)，
∵AL⊥EG，∠EAL＝18°，
∴AL＝AE·cs 18°≈2.62×0.95≈2.49(m).
答：标志的高度约为2.49 m．
单元质量达标(一)(第一章)
1．B 锐角A的邻边与斜边的比叫做锐角A的余弦，
记作cs A，因此，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cs A＝ eq \f(AC,AB) .
2．D 在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝ eq \r(AB2＋AC2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10，
所以sin C＝ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(8,10) ＝ eq \f(4,5) .
3．A ∵tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) ，∴锐角α＝30°.
4．C 由sin A＝ eq \f(3,5) 知，如果设a＝3x，则c＝5x，
结合a2＋b2＝c2得b＝4x；
∴tan A＝ eq \f(a,b) ＝ eq \f(3x,4x) ＝ eq \f(3,4) .
5．D ∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan ∠A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) ，
∴tan ∠ACD的值是 eq \f(3,4) .
6．B 过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠B是Rt△ABD的一个锐角，
∴sin B＝ eq \f(AD,AB) ，
而BD＝AD＝3，AB＝ eq \r(BD2＋AD2) ＝3 eq \r(2) ，
∴sin B＝ eq \f(3,3\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
7．C 如图，
∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝30°，AB＝10 km，
∴BE＝5 km，AE＝5 eq \r(3) km，
∴CE＝BC－BE＝20－5＝15(km)，
∴AC＝ eq \r(CE2＋AE2) ＝ eq \r(152＋（5\r(3)）2) ＝10 eq \r(3) (km).
8．A 由题意得，PQ＝BC＝1.7 m，PC＝2.5 m，
在Rt△APC中，∵∠APC＝θ，
∴tan ∠APC＝tan θ＝ eq \f(AC,PC) ＝ eq \f(AC,2.5) ，
∴AC＝2.5tan θ，
∴AB＝AC＋BC＝(1.7＋2.5tan θ)(m).
9．C 延长AB交ED于G，过点C作CF⊥DE于点F，
∴GF＝BC＝5，
∵山坡CD的坡度为1∶0.75，
∴设DF＝3k，CF＝4k，
∴CD＝5k＝35，∴k＝7，
∴DF＝21，BG＝CF＝28，
∴EG＝GF＋DF＋DE＝5＋21＋19＝45，
∵∠AED＝52.5°，
∴AG＝EG·tan 52.5°≈45×1.30＝58.5，
∴AB＝30.5 m.
10．C 设AD与BC交于O，如图：
∵AB∥CD，∠1＝∠2＝α，
∴∠D＝α，
∵MN是小凳子的高，
∴∠OND＝∠OMA＝90°，
Rt△DON中，sin D＝sin α＝ eq \f(ON,OD) ，
∴ON＝OD·sin α，
Rt△AOM中，sin A＝sin α＝ eq \f(OM,OA) ，
∴OM＝OA·sin α，
∴MN＝ON＋OM＝OD·sin α＋OA·sin α
＝(OD＋OA)·sin α＝AD·sin α，
∵AD＝50 cm，∴MN＝50sin α cm.
11．【解析】∵cs A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,4) ，AC＝6，
∴AB＝ eq \f(AC,cs A) ＝8.
答案：8
12．【解析】原式＝ eq \f(1,2) －2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＋(－1)2 020
＝ eq \f(1,2) － eq \f(3,2) ＋1
＝0.
答案：0
13．【解析】根据题意可知：sin A－ eq \f(1,2) ＝0，cs B－ eq \f(\r(3),2) ＝0，
∴sin A＝ eq \f(1,2) ，cs B＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝120°.
答案：120°
14．【解析】过点A作AM⊥x轴，垂足为M，由于点A(4，m)在第一象限，
则OM＝4，AM＝m，
∵tan α＝ eq \f(3,2) ＝ eq \f(m,4) ，
∴m＝6.
答案：6
15．【解析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40 eq \r(3) ，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD＋PD＝40 eq \r(3) ＋40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝ eq \f(1,2) AP＝20 eq \r(3) ＋20≈54.6(m).
答案：54.6
16．【解析】过B作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4 km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2 km，
∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2 km，
∴BD＝ eq \r(BE2＋DE2) ＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) (km)，
即BD的长是2 eq \r(2) km.
答案：2 eq \r(2) km
17～22.解析见正文