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湖北省襄阳市谷城县石花镇2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题（含答案）
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这是一份湖北省襄阳市谷城县石花镇2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共10题）
1．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
4．若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
5．将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5 D．y＝﹣（x+3）2+5
6．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
7．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
8．如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
9．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
10．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共6题）
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是 ．
13．已知点、B（1，y2）在二次函数y＝x2+3的图象上，则y1 y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
14．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则A′的坐标为 ．
15．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则第三边长是 ．
16．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
三、解答题（共9题，共72分）
17．解方程：
（1）（2x﹣5）2﹣2＝0；
（2）x2﹣4x﹣4＝0．
18．如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标．
19．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
20．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．
21．网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求b，c的值和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
23．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 元．
24．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BE、DF之间的数量关系为 ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝1，EC＝2，则DE的长为 ．
25．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
参考答案
一、选择题（每题3分，共10题）
1．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
【分析】根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可．
解：关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别2和﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了整式和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
解：
∵y＝2（x+3）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【分析】根据关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，得到Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值即可．
解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程没有实数根它的判别式小于零是解决问题的关键．
5．将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5 D．y＝﹣（x+3）2+5
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），再利用点平移的规律，点（﹣1，3）平移后的对应点的坐标为（1，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，5），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+5，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质求解．
解：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，对称即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
7．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】由方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，利用根与系数的关系可得出x1x2＝﹣．
解：在方程2x2+4x﹣3＝0中，a＝2，c＝﹣3．
由于方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，
所以x1•x2＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
8．如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠ABB'＝∠AB'B，∠C＝∠B'AC，由三角形的内角和定理可求解．
解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠ABB'＝∠AB'B，
∵AB′＝CB′，
∴∠C＝∠B'AC，
∴∠AB'B＝2∠C＝∠ABB'，
∵∠BAC＝105°，
∴∠C+∠ABB'＝75°，
∴∠C＝25°
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定a，b的符号是解题关键．
二、填空题（每题3分，共6题）
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ﹣2 ．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键．
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】直接从图上可以分析：y＜0时，图象在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x＜﹣1；二是B的右边，即x＞2．
解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（﹣1，0），（2，0），
y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜﹣1或x＞2．
【点评】考查了二次函数的图象与函数值之间的联系，函数图象所表现的位置与y值对应的关系，典型的数形结合题型．
13．已知点、B（1，y2）在二次函数y＝x2+3的图象上，则y1 ＞ y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【分析】把点的坐标代入函数的关系式，求出y1、y2进行比较即可，也可以利用抛物线的对称性，通过自变量x的大小，得出函数值y的大小关系．
解：把、B（1，y2）代入二次函数y＝x2+3的关系式得，
y1＝+3＝，y2＝1+3＝4，
∵＞4，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】考查二次函数的图象和性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，也可以利用对称性，通过自变量的大小得出函数值的大小．
14．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则A′的坐标为 （4，﹣2） ．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形，可得结论．
解：如图，A′（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
15．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则第三边长是 5 ．
【分析】直接利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出答案．
解：x2﹣8x+15＝0
（x﹣5）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝5，x2＝3，
∵3+4＝7，
∴x＝3无法构成三角形，
∴第三边长是5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程、三角形三边关系，正确分解因式以及掌握三角形三边关系是解题关键．
16．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 8 m时，竖直高度达到最大值．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
三、解答题（共9题，共72分）
17．解方程：
（1）（2x﹣5）2﹣2＝0；
（2）x2﹣4x﹣4＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：（1）∵（2x﹣5）2﹣2＝0，
∴（2x﹣5）2＝2，
则（2x﹣5）2＝4，
∴2x﹣5＝2或2x﹣5＝﹣2，
解得x1＝，x2＝；
（2）∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标．
【分析】根据中心对称的性质即可画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，进而可以写出点A'，B'，C'的坐标．
解：如图，△A'B'C'即为所求，A'（3，2），B'（4，4），C'（6，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，
整理得：3x2﹣32x+52＝0，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，得出AF＝AE，∠FAB＝∠DAE，则∠FAE＝∠DAB＝90°．
（2）由勾股定理求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF＝AE，∠FAB＝∠DAE，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°．
∴△AEF是等腰直角三角形．
（2）解：∵四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积，
∴正方形ABCD的面积为25，
∴AD＝BC＝CD＝AB＝5，
在Rt△ADE中，AD＝5，DE＝2，
∴AE＝AF＝＝＝，
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？
【分析】（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据“5月份快递件数×（1+增长率）2＝7月份快递件数”列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）分别计算出9月份的快递件数和8名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案．
解：（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
根据题意，得：5（1+x）2＝5.832，
解得：x1＝0.08＝8%，x2＝﹣2.08（舍），
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；
（2）9月份的快递件数为5.832×（1+0.08）2≈6.8（万件），
而0.8×8＝6.4＜6.8，
所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求b，c的值和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中．
23．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 371.2 元．
【分析】（1）根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中每件盈利＝每件售价﹣每件进价，建立等量关系；
（2）由每天销售该商品要获得280元的利润，结合（1）列方程即可解出答案；
（3）根据自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：（1）y＝（x﹣16）（170﹣5x）
＝﹣5x2+250x﹣2720；
（2）由y＝280，得﹣5x2+250x﹣2720＝280．
化简整理得x2﹣50x+600＝0．
解得x1＝20，x2＝30．
由题意可知，x≤16×（1+40%）＝22.4，
∴x＝20，
答：每件商品的售价应定为20元；
（3）在y＝﹣5x2+250x﹣2720中，
∵a＝﹣5＜0，x＝﹣＝﹣＝25，
∴当x≤22.4时，y随x的增大而增大．
∴当x＝22.4时，y的值最大，此时y＝（22.4﹣16）（170﹣5×22.4）＝371.2，
故答案为：371.2．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
24．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ △AFE ，故EF、BE、DF之间的数量关系为 BE+FD＝EF ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝1，EC＝2，则DE的长为 ．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
解：（1）如图1所示：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE．
∴EF＝FG．
∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．
故答案为：△AFE；BE+FD＝EF．
（2）DF＝EF+BE．
理由：如图2所示．
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠ABE＝90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD＝90°，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EAF＝∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF．
∴EF＝FG．
∵FD＝FG+DG，
∴DF＝EF+BE．
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
又∵∠FAB＝∠CAE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE．
∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°．
∴∠BDF＝90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD2+BF2＝DF2．
∴BD2+CE2＝DE2．
∴DE＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
25．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．
解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，
∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．
②当≤m≤1+时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论．
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共10题）
1．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
4．若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
5．将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5 D．y＝﹣（x+3）2+5
6．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
7．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
8．如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
9．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
10．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共6题）
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是 ．
13．已知点、B（1，y2）在二次函数y＝x2+3的图象上，则y1 y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
14．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则A′的坐标为 ．
15．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则第三边长是 ．
16．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
三、解答题（共9题，共72分）
17．解方程：
（1）（2x﹣5）2﹣2＝0；
（2）x2﹣4x﹣4＝0．
18．如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标．
19．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
20．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．
21．网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求b，c的值和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
23．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 元．
24．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BE、DF之间的数量关系为 ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝1，EC＝2，则DE的长为 ．
25．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
参考答案
一、选择题（每题3分，共10题）
1．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4 B．﹣2，﹣1 C．2，4 D．2，﹣4
【分析】根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可．
解：关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别2和﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了整式和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
解：
∵y＝2（x+3）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．若关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【分析】根据关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，得到Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值即可．
解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m＝1﹣4m＜0，
解得：m＞．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程没有实数根它的判别式小于零是解决问题的关键．
5．将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5 D．y＝﹣（x+3）2+5
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），再利用点平移的规律，点（﹣1，3）平移后的对应点的坐标为（1，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，5），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+5，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．在二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质求解．
解：y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，对称即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
7．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】由方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，利用根与系数的关系可得出x1x2＝﹣．
解：在方程2x2+4x﹣3＝0中，a＝2，c＝﹣3．
由于方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，
所以x1•x2＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
8．如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠ABB'＝∠AB'B，∠C＝∠B'AC，由三角形的内角和定理可求解．
解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠ABB'＝∠AB'B，
∵AB′＝CB′，
∴∠C＝∠B'AC，
∴∠AB'B＝2∠C＝∠ABB'，
∵∠BAC＝105°，
∴∠C+∠ABB'＝75°，
∴∠C＝25°
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定a，b的符号是解题关键．
二、填空题（每题3分，共6题）
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ﹣2 ．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键．
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】直接从图上可以分析：y＜0时，图象在x轴的下方，共有2部分：一是A的左边，即x＜﹣1；二是B的右边，即x＞2．
解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（﹣1，0），（2，0），
y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜﹣1或x＞2．
【点评】考查了二次函数的图象与函数值之间的联系，函数图象所表现的位置与y值对应的关系，典型的数形结合题型．
13．已知点、B（1，y2）在二次函数y＝x2+3的图象上，则y1 ＞ y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【分析】把点的坐标代入函数的关系式，求出y1、y2进行比较即可，也可以利用抛物线的对称性，通过自变量x的大小，得出函数值y的大小关系．
解：把、B（1，y2）代入二次函数y＝x2+3的关系式得，
y1＝+3＝，y2＝1+3＝4，
∵＞4，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】考查二次函数的图象和性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，也可以利用对称性，通过自变量的大小得出函数值的大小．
14．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），将点A绕原点顺时针旋转90°得到点A′，则A′的坐标为 （4，﹣2） ．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形，可得结论．
解：如图，A′（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
15．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则第三边长是 5 ．
【分析】直接利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出答案．
解：x2﹣8x+15＝0
（x﹣5）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝5，x2＝3，
∵3+4＝7，
∴x＝3无法构成三角形，
∴第三边长是5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程、三角形三边关系，正确分解因式以及掌握三角形三边关系是解题关键．
16．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 8 m时，竖直高度达到最大值．
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
三、解答题（共9题，共72分）
17．解方程：
（1）（2x﹣5）2﹣2＝0；
（2）x2﹣4x﹣4＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：（1）∵（2x﹣5）2﹣2＝0，
∴（2x﹣5）2＝2，
则（2x﹣5）2＝4，
∴2x﹣5＝2或2x﹣5＝﹣2，
解得x1＝，x2＝；
（2）∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标．
【分析】根据中心对称的性质即可画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，进而可以写出点A'，B'，C'的坐标．
解：如图，△A'B'C'即为所求，A'（3，2），B'（4，4），C'（6，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，
整理得：3x2﹣32x+52＝0，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，得出AF＝AE，∠FAB＝∠DAE，则∠FAE＝∠DAB＝90°．
（2）由勾股定理求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF＝AE，∠FAB＝∠DAE，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°．
∴△AEF是等腰直角三角形．
（2）解：∵四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积，
∴正方形ABCD的面积为25，
∴AD＝BC＝CD＝AB＝5，
在Rt△ADE中，AD＝5，DE＝2，
∴AE＝AF＝＝＝，
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？
【分析】（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据“5月份快递件数×（1+增长率）2＝7月份快递件数”列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）分别计算出9月份的快递件数和8名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案．
解：（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
根据题意，得：5（1+x）2＝5.832，
解得：x1＝0.08＝8%，x2＝﹣2.08（舍），
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；
（2）9月份的快递件数为5.832×（1+0.08）2≈6.8（万件），
而0.8×8＝6.4＜6.8，
所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求b，c的值和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中．
23．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 371.2 元．
【分析】（1）根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中每件盈利＝每件售价﹣每件进价，建立等量关系；
（2）由每天销售该商品要获得280元的利润，结合（1）列方程即可解出答案；
（3）根据自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：（1）y＝（x﹣16）（170﹣5x）
＝﹣5x2+250x﹣2720；
（2）由y＝280，得﹣5x2+250x﹣2720＝280．
化简整理得x2﹣50x+600＝0．
解得x1＝20，x2＝30．
由题意可知，x≤16×（1+40%）＝22.4，
∴x＝20，
答：每件商品的售价应定为20元；
（3）在y＝﹣5x2+250x﹣2720中，
∵a＝﹣5＜0，x＝﹣＝﹣＝25，
∴当x≤22.4时，y随x的增大而增大．
∴当x＝22.4时，y的值最大，此时y＝（22.4﹣16）（170﹣5×22.4）＝371.2，
故答案为：371.2．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
24．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ △AFE ，故EF、BE、DF之间的数量关系为 BE+FD＝EF ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝1，EC＝2，则DE的长为 ．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
解：（1）如图1所示：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE．
∴EF＝FG．
∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．
故答案为：△AFE；BE+FD＝EF．
（2）DF＝EF+BE．
理由：如图2所示．
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC＝∠ABE＝90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD＝90°，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EAF＝∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF．
∴EF＝FG．
∵FD＝FG+DG，
∴DF＝EF+BE．
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
又∵∠FAB＝∠CAE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE．
∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°．
∴∠BDF＝90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD2+BF2＝DF2．
∴BD2+CE2＝DE2．
∴DE＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
25．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．
解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，
∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．
②当≤m≤1+时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论．
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