2023延安一中高二上学期第一次月考数学（文）试题含解析

延安市第一中学2022—2023学年度第一学期月考

高二年级（文科）数学试题

（分值：150分    时间：120分钟）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 数列的一个通项公式是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 不等式的解集为（   ）

A.  B.

C.  D. 或

3. 在等比数列中，，是方程的两根，则（    ）

A. 4 B.  C.  D.

4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A 7 B. 8 C. 9 D. 10

5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A.  B. {或} C.  D. 或

6. 某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ）

A. 200台 B. 150台

C. 100台 D. 50台

7. 已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为

A 15 B.  C. 6 D. 3

8. 数列满足，且则的值为（　　）

A.  B.

C. 2 D. 1

9. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．

A. 10层 B. 11层 C. 12层 D. 13层

10. 下列结论错误的个数为（    ）

①满足（为常数）的数列为等比数列.

②若，则三个数成等比数列.

③如果数列为等比数列，，则数列也是等比数列.

④如果数列为等比数列，则数列是等差数列.

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

11. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）

A 96 B. 97 C. 98 D. 99

12. 已知数列{an}满足，若2≤a10≤3，则a1的取值范围是（　　）

A 1≤a1≤10 B. 1≤a1≤17 C. 2≤a1≤3 D. 2≤a1≤6

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 根据图中5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．

14. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则__________．

15. 若，则的取值范围为______．

16. 若，则关于的不等式的解集为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列满足，前项和.

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求的前项和

18. 已知函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．

19. 已知数列，.以后各项由给出.

（1）写出数列的前项；

（2）求数列的通项公式.

20. 在数列中，.

（1）设，求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和.

21. 已知等差数列的前项和为，且，______

请在①；②，③这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

22. 已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

延安市第一中学2022—2023学年度第一学期月考

高二年级（文科）数学试题

（分值：150分    时间：120分钟）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 数列的一个通项公式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数列分子分母规律求得通项公式.

【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.

故选：B

2. 不等式的解集为（   ）

A.  B.

C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据一元二次不等式的解法即可得结果.

【详解】不等式，即，

故不等式的解集为，

故选：B.

3. 在等比数列中，，是方程两根，则（    ）

A. 4 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

根据，是方程的两根，得到，，然后利用等比中项求解.

【详解】设为数列的公比，

因为，是方程的两根，

所以，，

∴，

又，，

∴，

∴.

故选：A

4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】∵为等比数列前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A.  B. {或} C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．

【详解】解：因为不等式的解集为，

的两根为，2，且，即，，解得，，

则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．

故选：A.

6. 某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ）

A. 200台 B. 150台

C. 100台 D. 50台

【答案】B

【解析】

【分析】

根据生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，由一元二次不等式的解法求解.

【详解】要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，

整理得x2＋50x－30 000≥0，

解得x≥150或x≤－200(舍去)，

故最低产量是150台．

故选:B

7. 已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为

A. 15 B.  C. 6 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果．

【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，

∴2，

∴2＝a1+a1+5d，

解得2a1+5d＝2，

∴{an}前6项的和为2a1+5d）=．

故选C．

【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．

8. 数列满足，且则的值为（　　）

A.  B.

C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.

【详解】由题意，数列满足，且，

可得，

可得数列是以三项为周期的周期数列，

所以.

故选：C.

9. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．

A. 10层 B. 11层 C. 12层 D. 13层

【答案】C

【解析】

【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出值

【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层，

即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，

则．

该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，

则有，

又，则有，

即，解得或（舍去），则．

故选：C．

10. 下列结论错误的个数为（    ）

①满足（为常数）的数列为等比数列.

②若，则三个数成等比数列.

③如果数列为等比数列，，则数列也是等比数列.

④如果数列为等比数列，则数列是等差数列.

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】对于①，由q是否为常数且不等于0判断；对于②③④，举反例判断即可

【详解】对于①，当属于正整数，q为常数且不等于0时，数列为等比数列，故①错误;

对于②，若时，满足，但不是等比数列，故②错误;

对于③，当等比数列的公比时，，此时不是等比数列，故③错误;

对于④，当时，满足数列为等比数列，但无意义，故④错误.

故选：D

11. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）

A. 96 B. 97 C. 98 D. 99

【答案】C

【解析】

【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.

【详解】令，

，

两式相加得：

，

∴，

故选:C．

12. 已知数列{an}满足，若2≤a10≤3，则a1的取值范围是（　　）

A. 1≤a1≤10 B. 1≤a1≤17 C. 2≤a1≤3 D. 2≤a1≤6

【答案】B

【解析】

【分析】根据，按照规律依此，找到，再利用等比数列求和公式整理，然2≤a10≤3求解.

【详解】因为，

所以，

，

，

＝，

＝，

∵2≤a10≤3，

，

∴1≤a1≤17．

故选：B．

【点睛】本题主要考查数列递推以及等比数列求和，属于较难题．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．

【答案】

【解析】

【分析】本题首先可以观察题目所给的五个图像，找出每个图形之间有什么联系，然后通过每个图形之间的联系猜想出通项公式，得出结果

【详解】图(1)只有1个点，无分支，故个数为1；

图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点，故个数为；

图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点，故个数为；

图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点，故个数为；

图(5)除中间1个点外，有五个分支，每个分支有4个点，故个数为；…；

猜测第个图中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，

故第个图中点的个数为

故答案为：

14. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】依题意有，，故.

15. 若，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】由不等式的基本性质可得.

【详解】因为，即，，

所以，所以，

故的取值范围为.

故答案为：

16. 若，则关于的不等式的解集为______．

【答案】.

【解析】

【分析】先根据求出，再对变形，利用因式分解进行求解.

【详解】变形得到，

因为，所以，即，

故不等式的解集为.

故答案为：

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列满足，前项和.

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求的前项和

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设的公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式列关于和的方程组，解得和的值即可得的通项公式；

（2）求出和的值，即可得的公比，再由等比数列求和公式即可求解.

【详解】（1）设的公差为，

由题意可得，解得：

所以；

（2）由（1）得，，

设的公比为，则，解得：，

所以的前项和.

18. 已知函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）解一元二次不等式，首先找到与不等式对应的方程的两个根，然后结合二次函数图像得到不等式的解集；（Ⅱ）将解集为全体实数即恒成立问题转化为函数最值问题，结合函数图像寻找满足的条件

试题解析：（Ⅰ）不等式化为的两根为，因此不等式解集为

（Ⅱ）当时恒成立，当时需满足

综上实数的取值范围为

考点：1．一元二次不等式的解法；2．二次不等式与二次函数的转化

19. 已知数列，.以后各项由给出.

（1）写出数列的前项；

（2）求数列的通项公式.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据和递推式写出数列的前5项；

（2）根据累加法求出数列的通项公式.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

故

，

故，

当时，此通项公式也成立.

故

20. 在数列中，.

（1）设，求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）数列的前项和为.

【解析】

【分析】（1）由条件证明对于任意的，为常数即可.

（2）结合（1）的结论求得数列的通项公式，再由分组求和法求和.

【小问1详解】

由已知又，，所以，

因为，

所以，又

所以，，因为，所以，

所以，

所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．

【小问2详解】

由（1），可知，

所以数列的通项公式为．

设数列的前项和为，则

，

所以，

，

，

，

所以，

所以数列的前项和为.

21. 已知等差数列的前项和为，且，______

请在①；②，③这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】选择见解析；（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由，得到，分别选择①②③，列出方程组求得的值，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即，

选①：由，可得，解得，

所以数列的通项公式为．

选②：由，可得，即，

所以，解得，

所以．

选③：由，因为，可得，

所以，解得，

所以．

（2）由（1）可得，

所以，

所以，

两式相减得

所以．

【点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法：

（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；

（2）注意事项：

①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；

③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.

22. 已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，的最小值为

【解析】

【分析】（1）利用求得数列的通项公式.

（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得的最小值.

【小问1详解】

依题意，

当时，，

当时，，

当时上式也符合，所以.

【小问2详解】

，

，

为单调递增数列，，则，

所以，

函数的对称轴为，

，

当时，递增.

所以使成立的正整数的最小值为.