2023延安一中高二上学期第一次月考数学（文）试题含解析

这是一份2023延安一中高二上学期第一次月考数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
延安市第一中学2022—2023学年度第一学期月考高二年级（文科）数学试题（分值：150分    时间：120分钟）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 数列的一个通项公式是（    ）A.  B. C.  D. 2. 不等式的解集为（   ）A.  B. C.  D. 或3. 在等比数列中，，是方程的两根，则（    ）A. 4 B.  C.  D. 4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）A 7 B. 8 C. 9 D. 105. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A.  B. {或} C.  D. 或6. 某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ）A. 200台 B. 150台C. 100台 D. 50台7. 已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A 15 B.  C. 6 D. 38. 数列满足，且则的值为（　　）A.  B. C. 2 D. 19. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．A. 10层 B. 11层 C. 12层 D. 13层10. 下列结论错误的个数为（    ）①满足（为常数）的数列为等比数列.②若，则三个数成等比数列.③如果数列为等比数列，，则数列也是等比数列.④如果数列为等比数列，则数列是等差数列.A. 1 B. 2C. 3 D. 411. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）A 96 B. 97 C. 98 D. 9912. 已知数列{an}满足，若2≤a10≤3，则a1的取值范围是（　　）A 1≤a1≤10 B. 1≤a1≤17 C. 2≤a1≤3 D. 2≤a1≤6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 根据图中5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．14. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则__________．15. 若，则的取值范围为______．16. 若，则关于的不等式的解集为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列满足，前项和.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，求的前项和18. 已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．19. 已知数列，.以后各项由给出.（1）写出数列的前项；（2）求数列的通项公式.20. 在数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.21. 已知等差数列的前项和为，且，______请在①；②，③这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．22. 已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．延安市第一中学2022—2023学年度第一学期月考高二年级（文科）数学试题（分值：150分    时间：120分钟）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 数列的一个通项公式是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列分子分母规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：B2. 不等式的解集为（   ）A.  B. C.  D. 或【答案】B【解析】【分析】直接根据一元二次不等式的解法即可得结果.【详解】不等式，即，故不等式的解集为，故选：B.3. 在等比数列中，，是方程两根，则（    ）A. 4 B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析】根据，是方程的两根，得到，，然后利用等比中项求解.【详解】设为数列的公比，因为，是方程的两根，所以，，∴，又，，∴，∴.故选：A4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.5. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A.  B. {或} C.  D. 或【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．【详解】解：因为不等式的解集为，的两根为，2，且，即，，解得，，则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．故选：A.6. 某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ）A. 200台 B. 150台C. 100台 D. 50台【答案】B【解析】【分析】根据生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，由一元二次不等式的解法求解.【详解】要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．故选:B7. 已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A. 15 B.  C. 6 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d， 解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=．故选C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．8. 数列满足，且则的值为（　　）A.  B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.【详解】由题意，数列满足，且，可得，可得数列是以三项为周期的周期数列，所以.故选：C.9. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）．A. 10层 B. 11层 C. 12层 D. 13层【答案】C【解析】【分析】设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出值【详解】根据题意，设该数列为，塔群共有n层，即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，则．该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，则有，又，则有，即，解得或（舍去），则．故选：C．10. 下列结论错误的个数为（    ）①满足（为常数）的数列为等比数列.②若，则三个数成等比数列.③如果数列为等比数列，，则数列也是等比数列.④如果数列为等比数列，则数列是等差数列.A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】对于①，由q是否为常数且不等于0判断；对于②③④，举反例判断即可【详解】对于①，当属于正整数，q为常数且不等于0时，数列为等比数列，故①错误;对于②，若时，满足，但不是等比数列，故②错误;对于③，当等比数列的公比时，，此时不是等比数列，故③错误;对于④，当时，满足数列为等比数列，但无意义，故④错误.故选：D11. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）A. 96 B. 97 C. 98 D. 99【答案】C【解析】【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C．12. 已知数列{an}满足，若2≤a10≤3，则a1的取值范围是（　　）A. 1≤a1≤10 B. 1≤a1≤17 C. 2≤a1≤3 D. 2≤a1≤6【答案】B【解析】【分析】根据，按照规律依此，找到，再利用等比数列求和公式整理，然2≤a10≤3求解.【详解】因为，所以，，，＝，＝，∵2≤a10≤3，，∴1≤a1≤17．故选：B．【点睛】本题主要考查数列递推以及等比数列求和，属于较难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．【答案】【解析】【分析】本题首先可以观察题目所给的五个图像，找出每个图形之间有什么联系，然后通过每个图形之间的联系猜想出通项公式，得出结果【详解】图(1)只有1个点，无分支，故个数为1；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点，故个数为；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点，故个数为；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点，故个数为；图(5)除中间1个点外，有五个分支，每个分支有4个点，故个数为；…；猜测第个图中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，故第个图中点的个数为故答案为：14. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则__________．【答案】【解析】【详解】依题意有，，故.15. 若，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由不等式的基本性质可得.【详解】因为，即，，所以，所以，故的取值范围为.故答案为：16. 若，则关于的不等式的解集为______．【答案】.【解析】【分析】先根据求出，再对变形，利用因式分解进行求解.【详解】变形得到，因为，所以，即，故不等式的解集为.故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列满足，前项和.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，求的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设的公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式列关于和的方程组，解得和的值即可得的通项公式；（2）求出和的值，即可得的公比，再由等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）设的公差为，由题意可得，解得：所以；（2）由（1）得，，设的公比为，则，解得：，所以的前项和.18. 已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）解一元二次不等式，首先找到与不等式对应的方程的两个根，然后结合二次函数图像得到不等式的解集；（Ⅱ）将解集为全体实数即恒成立问题转化为函数最值问题，结合函数图像寻找满足的条件试题解析：（Ⅰ）不等式化为的两根为，因此不等式解集为（Ⅱ）当时恒成立，当时需满足综上实数的取值范围为考点：1．一元二次不等式的解法；2．二次不等式与二次函数的转化19. 已知数列，.以后各项由给出.（1）写出数列的前项；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据和递推式写出数列的前5项；（2）根据累加法求出数列的通项公式.【小问1详解】；【小问2详解】故，故，当时，此通项公式也成立.故20. 在数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；    （2）数列的前项和为.【解析】【分析】（1）由条件证明对于任意的，为常数即可.（2）结合（1）的结论求得数列的通项公式，再由分组求和法求和.【小问1详解】由已知又，，所以，因为，所以，又所以，，因为，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．【小问2详解】由（1），可知，所以数列的通项公式为．设数列的前项和为，则，所以，，，，所以，所以数列的前项和为.21. 已知等差数列的前项和为，且，______请在①；②，③这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】选择见解析；（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由，得到，分别选择①②③，列出方程组求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即，选①：由，可得，解得，所以数列的通项公式为．选②：由，可得，即，所以，解得，所以．选③：由，因为，可得，所以，解得，所以．（2）由（1）可得，所以，所以，两式相减得所以．【点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法：（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；（2）注意事项：①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.22. 已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）存在，的最小值为【解析】【分析】（1）利用求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得的最小值.【小问1详解】依题意，当时，，当时，，当时上式也符合，所以.【小问2详解】，，为单调递增数列，，则，所以，函数的对称轴为，，当时，递增.所以使成立的正整数的最小值为.