2022新疆喀什二中高二上学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022新疆喀什二中高二上学期期中考试数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了 答题时使用0， 保持卡面清洁，不折叠，不破损， 如图，已知正四面体， 设f'等内容，欢迎下载使用。

喀什第二中学2021-2022学年度上学期期中质量监测
高二数学
本试题满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2. 答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3. 请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则满足的非空集合B的个数是（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 8
2. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
B. 命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”
C. 若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0
D. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
3. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象关于点对称
D. 函数的图象关于直线对称
4. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列的各项均为正数，，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A. B. C. ， D. ，
6. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ）

A. << B. << C. << D. <<
7. 设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　）
A. f（2）＜f（e）＜f（π）
B. f′（π）＜f′（e）＜f′（2）
C. f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D. f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
8. 定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：①当时，，当时，；②，则当时，的解集为（ ）
A. B. C. D.
9. 设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11. 命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（ ）
A. 是真命题 B. 是真命题
C. 逆否命题是真命题 D. ，都是假命题
12. 已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知的最小值为0，则正实数的值为__．
14. 函数，其导函数为，则________________
15. 已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．
16. 已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长；③面积为.
18. 已知正项数列满足，且对任意正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．
19. 求函数的最小值．
20. 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.
22. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
喀什第二中学2021-2022学年度上学期期中质量监测
高二数学
本试题满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2. 答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3. 请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则满足的非空集合B的个数是（ ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件可得，且，求出集合A的非空子集个数即可.
【详解】依题意，，因此有，且，而集合A的子集有个，则集合A的非空子集有7个，
所以符合条件的非空集合B的个数是7.
故选：C
2. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
B. 命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”
C. 若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0
D. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用“且”命题真假判断表可判断A；根据四种命题的变换形式可判断B；由全称命题的否定变换形式可判断C；根据充分条件、必要条件的定义可判断D.
【详解】A，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，故A错误；
B，命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”，故B正确；
C，若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0，故D正确；
D，“x=1”可得“x2-3x+2=0”，反之，“x2-3x+2=0”，则或，
所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件，故D正确.
故选：A
3. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数区间上单调递减
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象变换的性质及周期求得函数解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项．
【详解】由已知，向左平移后得，它是偶函数，
则，又，所以，
所以．
时，，因此A正确；
，因此函数图象关于点对称，B正确；
，函数图象关于直线对称，C正确；
，不是最值，D错误．
故选：D．
4. 已知点在函数图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.
【详解】∵点在函数的图象上，
∴，，
∴点坐标为，，．
故选：D
5. 已知数列的各项均为正数，，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可知，即可求得，，利用两点连线的斜率公式即可得解.
【详解】，点在抛物线上，
，即数列是首项为3，公差为4的等差数列，
，
，，
，即直线的方向向量为
故选：D
6. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ）

A. << B. << C. << D. <<
【答案】B
【解析】
【分析】设为三角形中心，过作，，，得到，，，再以为原点建立直角坐标系，得到直线，直线，直线的方程，利用点到直线的距离，求得点O到直线的距离判断.
【详解】设为三角形中心，底面如图2，过作，，，
由题意可知，，，

图1 图2
由图2所示，以为原点建立直角坐标系，不妨设，
则，，，，
∵，，
∴，，
则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
根据点到直线的距离公式，知，，，
∴，，
因为，，为锐角，
所以，
故选：B
7. 设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　）
A. f（2）＜f（e）＜f（π）
B f′（π）＜f′（e）＜f′（2）
C. f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D. f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
【答案】C
【解析】
【分析】f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，由，可得＜，可得y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误．
【详解】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，
∵，
∴＜，
∴y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．
∴f（2）＜f（e）＜f（π），f′（π）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正确．
∵f（3）﹣f（2）＝，表示点A（2，f（2）），B（3，f（3））的连线的斜率．
由图可知：f′（3）＜kAB＜f′（2），故D正确．
C项无法推出，
故选：C．

8. 定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：①当时，，当时，；②，则当时，的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、单调性和周期性结合简图可得结果.
【详解】定义在R上的图象不间断的奇函数，则，
因为当时，，即函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
又，则，所以，
所以当时，，当时，，且函数的周期，的图象大致为下图.

则当时，的解集为.
故选：D
9. 设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，
可得命题“”的否定为：“”
故选：C.
10. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.
【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，
由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，
在△中，，
∴，可得，即，则，
∴椭圆的离心率，
故选：C．
11. 命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（ ）
A. 真命题 B. 是真命题
C. 的逆否命题是真命题 D. ，都是假命题
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断是真命题，举反例可知是假命题，利用命题的否定和原命题的关系，以及原命题和逆否命题真假相同，依次判断即可
【详解】由不等式的性质可知“若，则”可知命题是真命题，故D错误；
故是假命题，故B错误；
所以的逆否命题是真命题，故C正确；
逆命题为“若，则”， 取可知是假命题，故A错误；
故选：C
12. 已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】解：由题意得，
则

，
由，解得：，
故，
（2），
当时，，，，
在上恒成立，
即在上单调递增，
又，故为上的偶函数，
其图象关于轴对称，在上单调递减，
故，故，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知的最小值为0，则正实数的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为的图象在函数的图象上方相切，利用函数的导数和切线的斜率的关系，求出切点坐标即可得解．
【详解】由于函数的最小值为0，
所以恒成立，即恒成立且可取等号，
设、
所以的图象在函数的图象上方相切，

当时，的图象与轴的交点在轴的负半轴上，
由图可知当正数最小时，直线与在内相切，
对函数求导得到，
所以，解得，
所以，所以切点的坐标为
把点代入得：．
由于的周期为，故每向左或向右平移都会与曲线相切，又.
故答案为：
14. 函数，其导函数为，则________________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先求导，然后代入，进行求解
【详解】因为，所以
故答案为：
15. 已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．
【答案】[，π]
【解析】
【分析】根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】由题设可知C2的曲线方程:，
令，得．
令k＝0得C2在[0，π]上的单减区间为[，π]．
故答案为：[，π]
16. 已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间距离公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为在上，所以，
又因为，所以，
所以该抛物线方程为：，因此的焦点坐标为：，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为.
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
∴ ， ∴∴
解得
( 2 ) 若选择① : 由正弦定理结合 ( 1 ) 可得
与矛盾 , 故这样的不存在；
若选择② : 由 ( 1 ) 可得，设 的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得

则周长
解得， 则
由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：

若选择③： 由 ( 1 ) 可得 ，即 ，
则解得
则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：
==.
18. 已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．
【答案】证明见解析；．
【解析】
【分析】由条件可得，得到是等差数列，求出通项公式，再利用迭代法可得的通项公式．
【详解】证明：由题知，
得，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
即，
当时，
，
当时，也符合题意，
所以，又
所以.
19. 求函数的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】将转化成两线段距离之和，利用三角不等式即可求解.
【详解】因为，
所以为点和之间的距离与和之间的距离之和，
即
如下图：

由三角不等式可知，，当且仅当点、、三点共线时，有最小值.
即的最小值为.
故答案为：.
20. 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.
【答案】当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为
【解析】
【分析】假设切点坐标，利用导数的几何意义可利用分别表示出的方程，由为公切线可确定方程组，化为一元二次方程后，利用可求得，代回可求得，确定切线方程.
【详解】由得：；由得：；
设与相切于点，与相切于点，
方程为或，
即方程为或，
，则，，解得：，
此时，此时切线方程为：，
综上所述：当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.
（2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，，，
所以曲线在点，处的切线方程为，即；
（2）由题意知，存在，，使得不等式成立，
即存在，，使得成立，
令，，，
则，，，
①当时，，所以函数在，上单调递减，
所以（2）成立，解得，所以.
②当时，令，解得；令，解得.
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
又，所以（2），解得，与矛盾，舍去.
③当时，，所以函数在，上单调递增，所以，不符合题意，舍去.
综上所述，的取值范围为.
22. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
【答案】（1）；（2）①，；②，最短长度为千米.
【解析】
【分析】（1）由题意得函数过点，列方程组就可解出a，b的值.
（2）①求公路l长度的函数解析式，就是求出直线l与x，y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l方程，再根据M，N为C的两个端点的限制条件得定义域为；②对函数解析式解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.
【详解】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为，
将其分别代入，得，解得.
（2）①由（1）知，，则点的坐标为，
设在点处的切线l交轴分别于点，，
∴l的方程为，由此得.
故，.
②设，则.
令，解得，当时，，是减函数；当时，，是增函数.
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，
∴，此时.
答：当时，公路l的长度最短，最短长度为千米.