2022喀什地区莎车县一中高二上学期期中考试数学试题含解析

莎车县第一中学2021-2022学年度第一学期期中考试高二数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=cosx，f3（x）=x3，f4（x）=x5，f5（x）=sinx，f6（x）=|x|．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，则所得函数是奇函数的概率是（    ）

A. 0.2 B. 0.25 C. 0.75 D. 0.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据概率和奇函数的知识求解即可

【详解】由题可知为奇函数，从盒子中任取2张卡片抽取2个共有15种方法，抽到中的两个有6种可能，所以概率为

故选：D

2. 小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，利用古典概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率．

【详解】解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，

将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6个基本事件，

小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：

，，，，，，，，，共有3个基本事件，

小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是．

故选：C

3. 复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】求出复数的共轭复数，进而得出对应的点位于的象限.

【详解】复数的共轭复数为，其在复平面中对应的点的坐标为，位于第四象限

故选：D

4. 在正方体中，，分别为，的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.

C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】设正方体的棱长为4，在线段上取，连接，则，即或其补角为直线与所成角，从而可得结果.

【详解】设正方体的棱长为4，在线段上取，连接，则，

即或其补角为直线与所成角，

易得，

，

∴，

∴直线与所成角的余弦值为.

故选：B

5. 设是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】C

【解析】

【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断；由线面的位置关系可判断；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可判断；由面面垂直的性质定理和线面的位置关系可判断．

【详解】解：是一条直线，，是两个不同的平面，

若，，可得或、相交，故错误；

若，，可得或、与相交，故错误；

若，可得过的平面与的交线，由，可得，又，则，故正确；

若，，可得或，故错误．

故选：．

6. 已知一组数据平均数是1，那么另一组数据的平均数为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数公式计算可得；

【详解】解：因为一组数据的平均数是1，所以

即，所以，即一组数据的平均数为；

故选：C

7. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C. “至少有一个黑球”与“都是黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”

【答案】A

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.

【详解】对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；

对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 能同时发生，故B中的两事件不互斥；

对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；

对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球” 互斥并且对立.

故选：A

8. 如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，再利用正弦定理可求出.

详解】设，则，

在中，由余弦定理可得，，

所以 ，

在中，由正弦定理得，，

则 .

故选：D

9. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解

【详解】设正方体内切球的球心为，则,

,

因为MN是正方体内切球的一条直径，

所以，，

所以，

又点Р在正方体表面上运动，

所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；

当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；

所以，

所以的取值范围为，

故选：B

10. 已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法一定不正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立坐标系，设，，结合向量夹角可知，，由题意可得，从而可求出，即可选出正确答案.

【详解】设以O为原点，以所在方向为轴正方向，如图建立直角坐标系，

设，，因为向量夹角为，

所以，

设，

所以，，

因为，

所以，

则，整理得，

因为，

所以，即，

所以，

又，整理得，

则或，

当时，即，则，不符合题意，

所以，所以，D不正确；

则只能确定共线且同向，但两向量的模长范围不能确定，所以ABC不一定正确.

故选：D.

11. 平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】画出图形，判断出、所成角，求解即可．

【详解】解：如图，∵ 平面，平面，平面，

∴，，

是正三角形.

∴ 、所成角的平面角或补角为，

∴、所成角的正弦值为.

故选：.

12. 在棱长为1的正方体中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，表示出，，根据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，设则，，所以，，所以，因为，，所以，，所以，

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知点，，则直线的倾斜角为_________.

【答案】

【解析】

【分析】应用两点式求的斜率，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角即可.

【详解】由题设，，若的倾斜角为，则，

又，故.

故答案为：

14. 已知=(1，1，0)，=(0，1，1)，=+，= +λ，，则λ的值为________.

【答案】

【解析】

【分析】应用空间向量坐标的线性运算求、坐标，再由空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值.

【详解】由题设，，，又，

∴，解得.

故答案为：

15. 如图，正三角形内有一点，，，连接并延长交于，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】设正三角形边长为2，，设，在中，得，在中，，代入数据计算可得答案.

【详解】设正三角形边长为2，，设，

在中，，，

代入数据可得，①，

在中，，

代入数据可得，②

①/②得，，解得，

代入①式得.

所以.

故答案为：.

16. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为________．

【答案】##1.5

【解析】

【分析】由已知边长为1的正方形沿对角线折成直二面角后，，在翻折后的图形中，取的中点，连接，证明平面，可得，则，由向量数量积的运算公式，即可得出答案.

【详解】解：由题意，翻折后，，

在翻折后的图形中，取的中点，连接，则

则，

所以即为二面角的平面角，所以，即，

所以，

又因，所以平面，因为平面，所以，

则，

所以.

故答案为：.

三、解答题，共70分

17. 已知命题p：对任意x∈R，x2－2x－m≥0，命题q：点A(1，－2)在圆(x－2m)2＋(y＋m)2＝2内部．

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，即判别式不大于0可得；

（2）再求出为真时的范围，然后由复合命题的真值表求解．

【详解】（1）命题为真，则，，即的范围是；

（2）命题为真时，，，

命题“p或q”为假命题，则均为假，，为假时，，为假时，或，

所以或．即为．

18. 如图所示，在五面体中，平面为的中点，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用直线与的方向向量求异面直线与所成角即可.

（2）求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式即可求出答案.

【详解】因为平面，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，

（1）所以，

所以，所以，

因为，所以，

所以异面直线与所成角为.

（2）因为，所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，取，则，所以，

取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角，则

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

19. 如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.

（1）若点是的中点，求证：；

（2）设棱上靠近的四等分点为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点．连接，证明，为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量法证明线线垂直；

（2）同（1）用空间向量法求二面角．

【小问1详解】

取中点．连接，

因为是菱形，，所以是等边三角形，所以，，从而，又平面，

以为轴建立空间直角坐标系，如图，

，，，，

，

所以，所以，即

【小问2详解】

由（1），，，

，

设平面的一个法向量是，

则，取，得，显然平面的一个法向量是，

，

二面角为钝二面角，所以它余弦值为．

20. 如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段上一点.，，.

（1）求证：；

（2）若为的重心，在线段上是否存在点，使得平面？说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，是的中点，理由见解析

【解析】

【分析】（1）先证明平面，得，然后证明平面，得，再由等腰三角形（需证明），得是中点；

（2）取中点，得，则得到线面平行．

【小问1详解】

证明：平面，平面，所以，

又圆上的点，是直径，所以，

，平面，所以平面，

而平面，所以，

又，，平面，所以平面，，

因为平面，所以，

在直角中，，则，所以，

所以是中点，所以；

【小问2详解】

存在，且是中点．

取中点，连接，因为是中点，所以，

平面，平面，所以平面．

21. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点.

（1）求证：平面BCC1B1；

（2）求证：平面MAC1⊥平面A1B1C.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）连接交于点，可证明与平行且相等得平行四边形，从而得，得出线面平行；

（2）平面即为平面，可通过证明与平面垂直得，然后可证与平面垂直，从而得证面面垂直．

【小问1详解】

如图，连接交于点，连接，是的中点，又是中点，

所以，，是中点，与平行且相等，

所以与平行且相等，所以是平行四边形，，

又平面BCC1B1，平面BCC1B1，所以平面BCC1B1；

【小问2详解】

如图，平面即为平面，

与底面垂直，则垂直于底面内直线，又，

与是侧面内两条相交直线，因此与平面，

平面，所以，

侧面是正方形，所以，与是平面内两相交直线，

所以平面，而平面，

所以平面平面，即平面MAC1⊥平面A1B1C.

22. 已知直线过抛物线焦点，且与抛物线交于，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）以为直径的圆与轴交于，两点，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由抛物线可得，根据直线过即可求参数p，进而写出抛物线方程.

（2）由题设易得，联立直线与抛物线应用韦达定理可求以为直径的圆的圆心坐标及半径，利用圆中的弦长公式列不等式求的取值范围.

【详解】（1）由题意可知：

直线过抛物线的焦点，

，即，

故所求抛物线的方程为：.

（2），

设，，由得：，

，则

过抛物线的焦点，故以为直径的圆的圆心为，半径为

，

，可得或

的取值范围为：.