新疆伊犁州霍城县第二中学2022-2023学年高二上学期（线上）期中考试数学试题(含答案)

2022-2023学年第一学期高二数学期中考试卷

文理同卷

考试范围：选择性必修一第一章—第三章椭圆；考试时间：60分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

共10道选择题，每题只有一个正确选项，每题4分,共40分

一、单选题

1．已知，，且，则的值是（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

2．已知空间向量，若，则（    ）

A．4 B．0 C． D．

3．已知空间向量，，若与垂直，则实数的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．若直线与平行，则实数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

5．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C．或  D．或

6．已知直线l与x轴相交于点，且直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为，则直线l的斜率是（    ）

A． B． C． D．

7．点到直线的距离是（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（    ）

A． B．0或 C． D．或0

9．已知椭圆过点，则其焦距为（    ）

A．8 B．12 C． D．

10．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

包含填空题和解答题两种题型，各有4道题。其中填空题每题4分，共16分;解答题第15,16各10分，第17,18各12分，共44分。

二、填空题

11．已知空间中直线的方向向量， 直线的方向向量，则与的夹角余弦值为________.

12．已知圆与圆相切，则______.

13．方程表示圆，则的取值范围是__________.

14．过点作的两条切线，切点分别为M，N，则________.

三、解答题

15．已知三角形的三个顶点，求：

(1)AC边所在直线的方程

(2)BC边上中线所在直线的方程．

16．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．

17．已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线过点且与椭圆C交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线的斜率为1，求三角形的面积.

18．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点．

(1)求证：；

(2)求二面角的平面角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

参考答案：

1．B

【分析】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】解：因为，，且，

所以，

解得；

故选：B

2．A

【分析】根据空间向量共线的坐标公式求解即可.

【详解】因为，所以，解得.

故选：A

3．B

【分析】由向量垂直得向量的数量积为0，由此计算可得．

【详解】由题意，．

故选：B．

4．D

【分析】由两直线平行的条件求解．

【详解】由题意，．

故选：D．

5．B

【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可.

【详解】因为直线和直线互相垂直，

所以，解得，

故选：B

6．C

【分析】由题可得直线l向上的方向与x轴正半轴的夹角为，即可求出直线l的斜率.

【详解】已知直线l与x轴相交于点，且直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为，

所以直线l向上的方向与x轴正半轴的夹角为，则斜率为.

故选：C.

7．B

【分析】利用点线距离公式即可求解.

【详解】因为点线距离公式为，

所以.

故选：B.

8．B

【分析】由弦长可得圆心到直线的距离，即可求出．

【详解】∵的圆心，半径，，

∴圆心到直线的距离为，

因此有，即，解得或．

故选：B．

9．D

【分析】将点坐标代入椭圆方程求得，然后利用得到，即可得到焦距.

【详解】将点代入椭圆方程得，解得，又，所以，焦距为.

故选：D.

10．B

【分析】利用结论建立不等式即可求解.

【详解】根据题意作图如下：

由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，

要满足椭圆C上存在点（）使得，则，

∴，即：，整理得：，

又，∴得到：，∴，

∴椭圆离心率的取值范围为，

故选:B．

11．

【分析】利用向量的公式，接着由解 与的夹角余弦值即可.

【详解】设 与的夹角为，则

，

由向量的数量积公式可知，

与的夹角余弦值为：

故答案为：.

12．1或3##3或1

【分析】由已知可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分两圆内切和外切两种情况讨论，求出的值即可．

【详解】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

其圆心距．

若两圆内切，则有，即，可得或（舍）；

若两圆外切，则有，即，解可得．

故答案为：1或3．

13．

【分析】化为标准方程后列不等式求解，

【详解】由得，

则，得，

故答案为：

14．##

【分析】先求出，再利用勾股定理求出，再利用等面积法即可得出答案.

【详解】解：因为，，且，，

所以，

由题意可得，，

所以四边形的面积，

又，所以.

故答案为：.

15．(1)

(2)

【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程；

（2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程．

（1）

，

∴直线AC的截距式方程为，化简得

即AC边所在直线的方程为：；

（2）

∴BC中点为D（，），

直线AD的斜率为k

因此，直线AD的方程为y（x+5），

化简得，即为BC边上中线所在直线的方程．

16．(1)

(2)

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.

（1）

由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；

（2）

由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．

17．(1)

(2)

【分析】（1）由已知求得后得椭圆方程；

（2）写出直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标，计算，求出原点到直线的距离后可得面积．

（1）

椭圆焦点为，则，，又，，所以，

椭圆方程为；

（2）

直线方程为，即，

由，解得，，

即，，，

到直线的距离为，

所以．

18．(1)证明见解析，

(2)0，

(3)

【分析】（1）如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，

（2）求出平面和的法向量，利用向量的夹角公式求解即可，

（3）利用空间向量中的距离公式求解.

（1）

如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

所以，

所以，

所以，

（2）

设平面的法向量为，

因为，

所以，令，则，

设平面的法向量为，

因为，

所以，令，则，

所以，

所以，

所以二面角的平面角的余弦值为0 ，

（3）

因为，平面的一个法向量为，

所以点到平面的距离为