2021-2022学年新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二上学期期中质量监测数学试题含答案

喀什第二中学2021-2022学年度上学期期中质量监测

高二数学

本试题满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2. 答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3. 请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损.

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则满足的非空集合B的个数是（    ）

A. 1 B. 6 C. 7 D. 8

2. 下列有关命题的说法中错误的是（    ）

A. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

B. 命题“若x2-3x+2=0，则x=1“的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”

C. 若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0

D. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

3. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（    ）

A. 函数在区间上单调递减

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数图象关于点对称

D. 函数的图象关于直线对称

4. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知数列的各项均为正数，，点在抛物线上，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（    ）

A.  B.  

C. ， D. ，

6. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（    ）

A. << B. << 

C. << D. <<

7. 设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（　　）

A. f（2）＜f（e）＜f（π）

B. f′（π）＜f′（e）＜f′（2）

C. f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）

D. f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）

8. 定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：①当时，，当时，；②，则当时，的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 命题：“若，则”的逆命题为，则下列判断正确的是（    ）

A. 是真命题 B. 是真命题

C. 逆否命题是真命题 D. ，都是假命题

12. 已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知的最小值为0，则正实数的值为__．

14. 函数，其导函数为，则________________

15. 已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是________．

16. 已知抛物线：，点在上，点的坐标为，若，则的焦点坐标为___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知在中，，．

（1）求的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．

①；②周长；③面积为.

18. 已知正项数列满足，且对任意正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．

19. 求函数的最小值．

20. 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，则称是和的公切线，则取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.

21. 已知函数.

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.

22. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

答案

1-12 CADDD  BCDCC  CC

13.

14. ##0.5

15. [，π]

16.

17. （1），则由正弦定理可得，

∴ ， ∴∴

解得

( 2 ) 若选择① : 由正弦定理结合 ( 1 ) 可得

与矛盾 , 故这样的不存在；

若选择② : 由 ( 1 ) 可得，设 的外接圆半径为 R，则由正弦定理可得 

则周长

解得， 则

由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：

若选择③： 由 ( 1 ) 可得  ，即 ，

则解得

则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：

==.

18. 证明：由题知，

得，

所以是以为首项，公差为2的等差数列，

即，

当时，

，

当时，也符合题意，

所以，又

所以.

19. 因为，

所以为点和之间的距离与和之间的距离之和，

即

如下图：

由三角不等式可知，，当且仅当点、、三点共线时，有最小值.

即的最小值为.

20. 由得：；由得：；

设与相切于点，与相切于点，

方程为或，

即方程为或，

，则，，解得：，

此时，此时切线方程为：，

综上所述：当时，和有且仅有一条公切线，公切线方程为.

21. （1）当时，，

则，，，

所以曲线在点，处的切线方程为，即；

（2）由题意知，存在，，使得不等式成立，

即存在，，使得成立，

令，，，

则，，，

①当时，，所以函数在，上单调递减，

所以（2）成立，解得，所以.

②当时，令，解得；令，解得.

所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，

又，所以（2），解得，与矛盾，舍去.

③当时，，所以函数在，上单调递增，所以，不符合题意，舍去.

综上所述，的取值范围为.

22. （1）由题意知，点M，N的坐标分别为，

将其分别代入，得，解得.

（2）①由（1）知，，则点的坐标为，

设在点处的切线l交轴分别于点，，

∴l的方程为，由此得.

故，.

②设，则.

令，解得，当时，，是减函数；当时，，是增函数.

从而，当时，函数有极小值，也是最小值，

∴，此时.

答：当时，公路l的长度最短，最短长度为千米.