2022乌鲁木齐四中高二上学期期中考试数学试题含解析

乌鲁木齐市第四中学2021-2022学年度上学期阶段性诊断测试

高二数学试题

一、单选题

1. 若全集，集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

求出集合A，根据补集的定义求出A的补集即可．

【详解】因为，，

所以.

故选C

【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查集合的运算，是一道基础题．

2. 下列命题中，错误的命题是

A. 平行于同一平面两个平面平行 B. 平行于同一直线的两个平面平行

C. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D. 一条直线与两个平行平面所成的角相等

【答案】B

【解析】

【分析】由面面平行传递性可知选项A正确，由反证法可知选项C正确，由线面角定义可知选项D正确，由构造矛盾模型可知选项B错误．

【详解】选项A正确，是面面平行的传递性．选项B错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交．选项C正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾．选项D正确，由线面角定义可知正确．选B.

【点睛】本题考查面面平行的相关性质的理解，常用定理性质推理、反证法、定义法、构造矛盾模型法来判断命题的正误．

3. 如果在区间上为减函数，则的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

当=时，=，符合题意.当时，由题意可得，求得的范围.综合可得的取值范围.

【详解】当时，，满足在区间上为减函数；

当时，由于的对称轴为，且函数在区间上为减函数，

则，解得.

综上可得，.

故选：B

【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.

4. 已知等比数列中，，且有，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】，，所以选A

5. 已知，，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】，，且，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为，故选B.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是对代数式进行配凑，并充分利用定值条件，考查计算能力，属于中等题.

6. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A. 至少有一个红球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是黑球

C. 至少有一个黑球与至少有1个红球 D. 恰有1个黑球与恰有2个黑球

【答案】D

【解析】

【分析】根据互斥事件以及对立事件的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑，

对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确；

对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确；

对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确；

对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确；

故选：D.

7. 高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是

A. 8 B. 13 C. 15 D. 18

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由于系统抽样的编号是一个以13为公差的等差数列，所以还有一个学生的编号是18.

详解：因为，所以系统抽样的编号是一个以13为公差的等差数列，

所以还有一个学生的编号是5+13=18.

故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)系统抽样抽出来的编号是一个等差数列.

8. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（    ）

A. 100 B. 120 C. 130 D. 390

【答案】A

【解析】

【分析】根据小矩形的面积之和，算出位于 10 ～ 30 的2组数的频率之和为0.33 , 从而得到位于30 ～ 50的数据的频率之和为1-0.33 = 0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.

【详解】位于10 ～ 20 、20 ～ 30 的小矩形的面积分别为

位于 10 ～ 20、 20 ～ 30 的据的频率分别为0.1 、0 .23

可得位于10 ～ 30的前3组数的频率之和为0 .1+0 .23 = 0 .33

由此可得位于30 ～ 50数据的频率之和为1-0.33 = 0. 67

∵支出在 [ 30 , 50 ) 的同学有 67人,即位于30～ 50的频数为67，

∴根据频率计算公式，可得解之得.

故选：A

9. 某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价单位：元和销售量单位：件之间的四组数据如表：

为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程，那么方程中的a值为　　

A. 17 B.  C. 18 D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a的值．

【详解】由题意，，，

线性回归方程，

，

．

故选B．

【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．

10. 若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为

A. 8 B. 15 C. 16 D. 32

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：样本数据，，，的标准差为，所以方差为64，由可得数据，，，的方差为，所以标准差为

考点：方差与标准差

11. 是方程表示椭圆的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，，，但当时，，方程表示圆．不充分，

方程表示椭圆时，，即且，是必要的．

应为必要不充分条件．

故选：B．

12. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，

        故离心率e＝选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

二、填空题

13. 在中，角对应的边为，若则_______.

【答案】

【解析】

【详解】由正弦定理可得： ，

又 ，则 ，据此可得： .

14. 已知，，且，，三点共线，则的值是_______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，利用向量共线的坐标表示列方程，解方程即可求解.

【详解】因为，，三点共线，所以，

因为，，，

所以，，

所以，解得：，

故答案：.

15. 已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】设，利用点差法即可求出直线的斜率，根据所给数据，即可得解.

【详解】设，设直线的斜率为，

有，，

两式相减可得，

所以，

所以，

由，

所以，又直线过，

可得直线方程为，

故答案为：.

16. 双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.

【答案】2

【解析】

【详解】试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．

【考点】双曲线的性质

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.

三、解答题

17. 已知是等差数列，，.

（1）求的通项公式；

（2）设的前项和，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；

（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，

数列的通项为；

（2）数列的前项和，

由，化简得，即，.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题.

18. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；

（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

【答案】（1）1，3，2；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由分层抽样的性质运算即可得解；

（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解.

【详解】（1）由题意，样品中来自A地区商品的数量为，

来自B地区商品的数量为，

来自C地区商品的数量为；

（2）设来自地区的样品编号为，来自地区的样品编号为,,，

来自地区的样品编号为,，

则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:

,,,,,,,,

,,,,,,,共15个；

抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:

,,,,共4个；

故所求概率.

【点睛】本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.

19. 某车间20名工人年龄数据如下表：

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；

（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄茎叶图；

（3）求这20名工人年龄的方差．

【答案】（1）21； （2）见解析； （3） .

【解析】

【分析】（1）直接根据众数、极差的概念求解；

（2）结合题意和茎叶图的概念，画出茎叶图即可；

（3）先计算出所给数据的平均数，再根据方差的公式计算方差即可.

【详解】（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为；

（2）茎叶图如下：

（3）年龄的平均数为，

故这20名工人年龄的方差为：

．

【点睛】本题是一道统计类题目，解题的关键是掌握众数、极差、平均数、方差以及茎叶图的概念，属于简单题.

20. 设，点在轴上，点在轴上，且，，在轴上运动时，求点的轨迹方程；

【答案】

【解析】

分析】

根据且，可得为的中点，利用，可得，从而可得点的轨迹的方程；

【详解】解：设，则由，得为的中点，

又因为点在轴上，点在轴上，

所以，

，

又，

；

【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．

21. 已知点在椭圆C：上，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由条件可得方程组，解得，所以椭圆C的方程为.

（2）以AB为底作等腰三角形，顶点为且，其中AB中点为，这样可得等量关系，利用韦达定理可得弦中点坐标：，解得，进而可得A，B两点坐标，即可求解.

【详解】（1）由已知得，解得，

故椭圆C的方程为；

（2）设直线l的方程为，，，AB的中点为，

由消去y，整理得，

由根与系数的关系得，，

由得，

则，，

即,

因为AB是等腰的底边，所以，

即PD的斜率，解得，满足,

此时，，

则，

又点P到直线l：的距离为，

所以的面积为.

【点睛】直线与椭圆弦长、面积问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式解决，弦中点问题解法一般为设而不求，方法一，求弦AB所在直线方程的关键是求出斜率k，可把点P是弦AB的中点作为突破口求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.