2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第四中学高二上学期期中阶段诊断测试数学试题含解析

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第四中学高二上学期期中阶段诊断测试数学试题

一、单选题

1．已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.

【详解】因为直线过点，，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，

故选：C.

2．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.

【详解】椭圆的焦点为．

因为所求双曲线的离心率，

所以其实半轴长为2，虚半轴长为，

故所求双曲线的方程为．

故选：B

3．已知f(x)＝xlnx，若，则x0＝（    ）

A．e2 B．e C． D．ln2

【答案】B

【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可.

【详解】因为f(x)＝xlnx，所以，

由，解得.

故选：B.

4．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，

其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，

由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，

故选：C.

5．函数，则（    ）

A． B．

C． D．，大小关系不能确定

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，明确函数的单调性，即可作出判断.

【详解】∵，

∴，

∴在上单调递减，

又，

∴，

故选：C.

6．已知为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为（    ）

A．7 B．9 C．16 D．18

【答案】D

【分析】根据已知确定公差符号，法1：得到，，，利用等差数列前n项和公式判断相应的符号，即可得结果；法2：利用等差数列前n项和公式、等差数列性质判断相应的符号，即可得结果；

【详解】法1：因为，，知：，

所以，，，

所以，，

当时，取得最大值．

法2：因为，，知：，

所以，，，

当时，取得最大值．

故选：D

7．的展开式中，常数项为（    ）

A． B． C．180 D．300

【答案】B

【分析】本题考查二项式定理的应用，考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

【详解】的展开式的通项为．

当为常数时，，解得，则；当为常数时，，解得，则，所以的展开式中常数项为．

故选：B．

8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】求导后，分别在和的情况下讨论得到的单调性，结合单调递减区间所在的区间可构造不等式求得结果.

【分析】的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；

当时，令，解得：（舍）或，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

若在区间内存在单调递减区间，则，解得：，

即实数的取值范围为.

故选：D.

9．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C．∪ D．∪

【答案】A

【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.

【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以函数为奇函数，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数在上单调递增，

所以可化为，即，

所以，

即，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A

10．四川师大附中某停车场某处并排连续有6个停车位，现有三辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：任何两辆汽车都不得相邻停放，则不同的停车方法有（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用插空法，将3辆车插入到3个停车位产生的4个空里即可,

【详解】任何两辆汽车都不得相邻，即相当于把3辆车插入到3个停车位产生的4个空里，

故有种不同的停车方法.

故选：C.

11．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．

12．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（    ）

（1）；（2）；（3）．

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【分析】根据组合知识结合古典概型概率公式及条件概率的求法逐项分析即得.

【详解】小明到养老院能选择的最短路径条数为条；

小明到F的最短路径走法有条，再从F到养老院的最短路径有条，小明经过F到养老院能选择的最短路径条数为条，

所以，故（1）正确；

小明从H到养老院的最短路径有条，即，

从H到F的最短路径有条，从F到养老院的最短路径有3条，即，所以，故（2）正确；

又，

所以，故（3）正确．

故选：A.

二、填空题

13．_________．

【答案】0

【分析】根据排列数的定义计算．

【详解】.

故答案为：0.

14．已知函数，则在（1，1）处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义可求出结果.

【详解】函数的定义域为，

，，，

所以在（1，1）处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为__________.

【答案】

【分析】根据两直线垂直可得，代入离心率计算公式可得.

【详解】易知直线的斜率为2，

双曲线的一条渐近线与直线垂直.

所以双曲线的渐近线方程为，即

得，

则离心率.

故答案为：

16．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________；若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为_______________.

【答案】     /     /    

【分析】根据重伯努利试验的概率公式、全概率公式、贝叶斯公式可求出结果.

【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；

设“购买一个甲厂灯泡”，“购买一个一厂灯泡”，“灯泡是合格品”，

则，，，，

则.

即若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为；

.

即若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为.

故答案为：；；.

三、解答题

17．（1）一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果?

（3）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的方法？

（4）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？

（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，有多少种不同的方法？

【答案】（1）种（2）种（3）种（4）种（5）种

【分析】（1）直接根据组合的概念可求出结果；

（2）根据分步乘法计数原理列式可求出结果；

（3）根据分步乘法计数原理列式可求出结果；

（4）先选后排可求出结果；

（5）利用间接法、捆绑法、插空法可求出结果.

【详解】（1）一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有种选法.

（2）争夺数学竞赛冠军有4种，争夺物理竞赛冠军有4种，争夺化学竞赛冠军有4种，

因此共有种不同的结果.

（3）插入第一本书，有7种插法，插入第二本书，有8种插法，插入第三本书，有9种插法，因此共有种不同的方法.

（4）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，共有种选法，再将选出的4人按照人数比为分成3组，有种分法，再将已经分好的3组人分给3项不同的活动，有种，所以共有种选法.

（5）先排三位男生，有种排法，然后从三名女生中任取两名捆在一起，有种，然后把捆在一起的整体与剩下的一名女生插入到男士旁边4个位置的2个位置，有种，故3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，

又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有种，

故满足题意的排法有种.

18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.

(Ⅰ)证明：BE⊥DC；

(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算得到．

（2）计算平面的法向量后计算其与的夹角的余弦值的绝对值即得线面角的正弦值．

【详解】证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，

可得，

，故，所以.

（2） ．

设为平面的一个法向量，

则 即，不妨令，可得．

于是有，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】空间中两条直线的垂直可归结为它们的方向向量垂直，后者通过数量积为零得到.直线与平面所成角的正弦值可归结为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值（因为线线角的取值范围为）.

19．已知函数在处取得极小值-2.

(1)求实数的值；

(2)若，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得，求解即可.

（2）问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解.

【详解】（1），

因为函数在处取得极小值-2，

所以，即，解得．

经检验，当，时，在处取到极小值，

所以，.

（2）由（1）可知，，则

令，解得或，

而，所以当，时，单调递增；

当时，单调递减.

又

所以当时，.

若，都有成立，

只需，所以.

故实数的取值范围为.

20．已知数列的前项和为，且满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设＝，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“”计算判断求出通项公式作答 .

（2）由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）当时，，得，当时，由＝－，得，

于是，即，

因此数列是以2为公比，3为首项的等比数列，

所以.

（2）由（1）得，则，

，

于是，

两式相减得：，

所以.

21．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；

(2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；

(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，数学期望为，方差为；

(3)甲公司竞标成功的可能性更大.

【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.

（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.

（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.

【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，

则有，

所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.

（2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为，

，

则的分布列为：

期望，方差.

（3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为，

，

，

则的分布列为：

期望，

方差，

显然，

所以甲公司竞标成功的可能性更大.

22．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；

(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【答案】(1)

(2)

(3)方案二更好，理由见解析

【分析】（1）计算出人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.

【详解】（1）解：人全通过初赛的概率为，

所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.

（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，

丙参加市知识竞赛的概率为，

所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.

（3）解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，

则，

，

，

，

所以，.

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．