2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一上学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．下列各组对象不能组成集合的是（    ）

A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题

C．被3除余2的所有整数 D．函数y＝x图象上所有的点

【答案】B

【分析】利用集合中元素的确定性直接求解

【详解】对于A，大于6的所有整数能构成集合，故A能组成集合；

对于B，高中数学的所有难题标准不确定，所以B不能构成集合

对于C，被3除余2的所有整数能构成集合，故C能组成集合；

对于D，所有函数y＝x图象上所有的点能构成集合，故D能组成集合．

故选：B．

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.

【详解】解：由已知得，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据不等式的关系即可判断为必要不充分条件.

【详解】由于，但不一定，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解.

【详解】因为：，，

所以由特称命题的否定的概念可知，：，.

故选：C.

5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以有，

由，或，

故选：A

6．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；②与

③与；④与

A．①② B．②④ C．①③ D．③④

【答案】B

【分析】运用同一函数的定义，从定义域、值域和解析式进行判定，即可得到结果.

【详解】的定义域为，的定义域为，

但，故①错误；

，故，②正确；

由，解得：，故的定义域为，

由，解得：或，故的定义域为，

所以与不是同一函数，③错误；

与的定义域和对应关系相同，为同一函数，④正确.

故选：B

7．设函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】代入分段函数解析式依次计算，.

【详解】由题意，得，则.

故选：D

8．函数的单调递增区间是（    ）

A．  B． 和

C．和 D． 和

【答案】B

【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.

【详解】

如图所示：

函数的单调递增区间是和．

故选：B.

9．已知，则的最小值为（    ）

A．4 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将原式构造成两正数和的形式，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，且，

当且仅当即时取等号.

故选：C.

10．已知偶函数，当时，，则当时，（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由 得，代入得，根据偶函数即可求解.

【详解】当 ，则 ，，

又为偶函数，∴当x < 0时，.

故选：D

11．若不等式对一切都成立，则a的最大值为（　　）

A．0 B．2 C．3 D．

【答案】D

【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.

【详解】因为不等式对一切恒成立，

所以对一切，，即恒成立．

令．

易知在内为减函数．所以，

故，所以的最大值是．

故选：D

12．函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]

【答案】D

【分析】由函数的单调性可求解．

【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，

则，解得．

故选：D．

13．设a为实数，定义在R上的偶函数满足：在上为增函数，则使得成立的a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.

【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，

由可得，

∴，解得：或

所以实数a的取值范围为

故选：A

14．已知偶函数，当时，，则不等式的解集是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数为偶函数求出时的解析式，解不等式即可.

【详解】由题意可知，设，则，

则，函数为偶函数，

所以时，，

，当时，，解得；

当时，，解得，

所以不等式的解集为，

故选：B．

二、多选题

15．下列结论正确的是（    ）

A．若，则的最小值为

B．若，，则

C．若，，且，则的最大值为

D．若，则的最大值为

【答案】AB

【分析】根据基本不等式依次求解判断各选项即可．

【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，

即的最小值为.故正确；

对于B：，则，当且仅当时取等号.故B正确；

对于C：且，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故C错误；

对于D：因为，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.故D错误．

故选：AB．

16．下列说法正确的序号为（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断A、D选项，再利用特殊值法，判断B、C选项.

【详解】因为，由不等式的性质可得，A正确；若取，则，不符合，B错误；若取，则，不符合，C错误；因为，所以，又，所以.

故选：AD

三、解答题

17．已知集合

(1)求；；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由集合的交并补运算，计算即可得出答案；

（2）由，借助数轴可得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以或，

所以.

（2）因为，，

所以.

18．（1）计算：；

（2）已知，求值：.

【答案】(1);(2)6.

【分析】（1）先将各个因式和为指数幂，然后根据指数幂的运算法则化简即可；（2）根据指数运算性质先将已知条件平方求得再平方可得代入计算即可.

【详解】（1）原式=

=

=

=；

（2）

.

【点睛】本题考查指数幂的运算与化简求值，属中档题，（1）的关键在于先化成指数幂再按照指数幂的运算法则进行运算，（2）的关键在于利用平方法求得和.

19．已知二次函数，，且.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.

（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.

【详解】（1）解：因为，所以，所以，

又因为，所以，

所以，

所以，所以，

即．

（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．

因为在递减，在递增，所以，

因为，，

所以，

所以在上的值域为．

20．已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；

（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.