2022昌吉州高二上学期期中数学试题含解析

2021-2022学年第一学期新疆昌吉教育体系高二年级期中质量检测

数学试卷

试卷满分：150分   考试时间：120分钟  

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共60分）

1. 袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是

A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球

C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；红､黑球各一个

【答案】D

【解析】

【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解

【详解】解：对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；

对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；

对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；

对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，

故选：D

【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题.

2. 如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为 (　　)

A.  B.  C.  D. 无法计算

【答案】C

【解析】

【分析】求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.

【详解】设阴影区域的面积为，，所以.

故选C.

【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题.

3. 命题“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是（    ）

A. ∀x∈R，x2﹣x+1＜0 B. ∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0

C. ∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0 D. ∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题,对原命题进行否定可得答案.

【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，

则命题的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0

故选：B.

【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.

4. “”是“方程表示椭圆”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.

【详解】方程表示椭圆，即且

所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件

故选C

【点睛】本题考查了椭圆的概念与简易逻辑用语，易错点为椭圆中，属于较为基础题.

5. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.

考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.

【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.

6. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.

详解：在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选D.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.

7. 下列说法正确的是（    ）

A. “若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题

B. 命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题

C. “∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2－x>0”

D. “”是“”的一个充分不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】举反例判断A错误；通过逆否命题的真假可判断原命题的真假；“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，”，C错误；“”是“”的一个必要不充分条件，D错误.

【详解】对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，

而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；

对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，

所以原命题也是真命题，故B正确；

对于C，“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，”，故C不正确；

对于D，由可推得，但由不能推出，故D错误.

故选：B

【点睛】本题考查四个命题之间的基本关系及其真假判断、必要不充分条件的判断、命题的否定，属于基础题.

8. 某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】列举法求得选物理和历史的所有种数，再利用古典概型求解

【详解】在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，

选物理的有6种，分别为：

物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，

同时，选历史也有6种，共计12种，

其中选择全理科有1种，

某考生选择全理科的概率是.

故选：D

9. 已知命题，命题，则是成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．

【详解】由可得，或﹔由可得，.所以是成立的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握绝对值不等式，对数不等式的解法是解题关键．命题对应集合，命题对应集合，是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件．

10. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（    ）

A.  B. 或

C.  D. 以上均不正确

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得.

【详解】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点和点，

于是得 ，解得，

所以所求椭圆方程为.

故选：A

11. 设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.

【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.

12. 已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知和面积得到，，对进行化简，配方求最值.

【详解】由已知的，故.∵的面积为，

∴，∴.又∵，

∴，，∴，

又，∴，

∴.∴的取值范围为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题.

第II卷（非选择题）

二、填空题（共20分）

13. 已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为____．

【答案】 ##

【解析】

【分析】由条件可得，然后可求出答案.

【详解】因为焦点在x轴上的椭圆的焦距为，

所以

所以

故答案为：

14. 从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；

【答案】

【解析】

【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A），P（AB），利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．

【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，

设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，

则P（A），P（AB），

则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：

P（A|B）．

【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．

15. 命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____.

【答案】m≥1或m≤﹣7

【解析】

【分析】

先求出命题p和命题q中不等式解，再根据必要不充分条件列不等式求解.

【详解】解：由x2+3x﹣4＜0得﹣4＜x＜1，

由（x﹣m）2＞3（x﹣m）得（x﹣m﹣3）（x﹣m）＞0，

即x＞m+3或x＜m，

若p是q的必要不充分条件，

则1≤m或m+3≤﹣4，

即m≥1或m≤﹣7，

故答案为：m≥1或m≤﹣7.

【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.

16. 已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.

【答案】

【解析】

【分析】由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解

【详解】由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率

故答案为：

三、解答题（共70分）

17. 如图在墙上挂着一块边长为的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为，，，某人站在处向此木板投镖，设击中线上或没有投中木板时都不算，可重新投一次.

问：（1）投中大圆内的概率是多少？

（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？

（3）投中大圆且未投中小圆的概率是多少？

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】由镖投在板上任何位置的可能性相等，求出面积之比即可.

【详解】镖投在板上任何位置的可能性相等，故概率与面积应成正比，设所求概率，，，于是有：

（1）；

（2）；

（3）.

18. 已知命题p：，命题．

(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．

（2）根据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.

【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．

（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，

∴①当时，有恒成立；

②当时，有，解得：；

∴的取值范围为：.

（2）∵是真命题，是假命题，∴，中一个为真命题，一个为假命题，

由为真时得由，解得，故有：①真假时，有或，解得：；

②假真时，有或，解得：；

∴的取值范围为：.

【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．

19. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：

(1)求频率直方图中a的值；

(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；

(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．

【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3

【解析】

【详解】（1）据直方图知组距=10，

由，解得

（2）成绩落在中学生人数为

成绩落在中的学生人数为

（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，

则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：

其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：

故所求概率为

20. 线段的长等于3，两端点､分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.求曲线的方程.

【答案】

【解析】

【分析】设､､，由两点间距离公式，向量平行的坐标表示

把用表示后代入可得结果；

【详解】设､､，由于，则①，

∵，∴，所以，即，

代入①式得点的轨迹曲线的方程为．

21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.

【答案】(1) (2)

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．

试题解析：

（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为

（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．

点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.

22. 已知椭圆的右焦点为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析.

【解析】

【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.

【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；

因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）设

联立得，

，，.

直线，令得，即；

同理可得.

因为,所以；

，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．