2022-2023学年新疆乌鲁木齐高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐高级中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若倾斜角为的直线过A（2，a），B（1，）两点，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用斜率公式列方程即可解得.

【详解】因为倾斜角为的直线过A（2，a），B（1，）两点，

所以，解得：.

故选：B

2．已知数列为等差数列，，则（    ）

A．8 B．12 C．15 D．24

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质求解即可.

【详解】解：因为数列为等差数列，，

所以，解得，

所以，.

故选：B

3．设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（    ）

A．2 B． C．2或 D．2或

【答案】A

【分析】利用等比数列的通项公式，求解出公比

【详解】由，有，即，

由等比数列的通项公式得，即，解得或，

由数列为正项等比数列，∴ .

故选：A

4．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（    ）

A． B．3 C．－1 D．或3

【答案】D

【分析】由点到直线的距离公式即可得关于实数a的方程，进而可求出实数a的值.

【详解】由题意得，化简得

解得或3．

故选：D.

5．圆与圆的位置关系为

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】B

【分析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为 ，，所以两圆相交 ．故选B．

【解析】圆与圆的位置关系．

6．在数列中，，，则等于（    ）．

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由数列的首项和递推式求得数列的前面几项，可推得数列的周期性，即可求得答案.

【详解】由，可得：

，

故数列为周期性数列，每3项为一循环，

而 ，故，

故选：C

7．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合椭圆的定义求出，又因为，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】因为椭圆的方程为：，则，

，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，

因为点P到两个焦点的距离之差为1，

所以假设，则，

解得： ，又因为，

在中，由余弦定理可得：，

所以，

所以的面积为：.

故选：C.

8．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线截圆的弦长计算出的值，利用双曲线的离心率公式可求得双曲线的离心率的值.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，

所以，圆心到直线的距离为，解得，

因此，双曲线的离心率的值为.

故选：A.

二、多选题

9．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（    ）

A．2x-y=0 B．x+y-3=0 C．x-y+1=0 D．x+y-1=0

【答案】AB

【分析】设直线方程为，然后求出横纵截距列方程，解得即可得到直线方程.

【详解】因为横纵截距相等，所以直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，令，得到，令，得到，所以，解得或2，所以直线方程为或.

故选：AB.

10．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的圆心为

B．圆的半径为5

C．点不在圆上

D．圆关于对称

【答案】BD

【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、 B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称.

【详解】可化为：，

所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、 B正确；

因为，所以点在圆上，故C错误；

因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确；

故选：BD.

11．关于，的方程表示的曲线可以是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【答案】ABD

【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义及方程判断.

【详解】根据椭圆的定义，若即，

方程表示焦点在 轴上的椭圆，所以A正确；

若，即，则方程表示焦点在 轴上的双曲线，

所以B选项正确；

因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线，

所以C错误；

当即时方程为表示圆，

所以D正确.

故选:ABD.

12．已知数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值可能是（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】BC

【分析】由题知时，；时，；时，，进而根据题意求解即可得答案.

【详解】解：因为的解集为，

所以，对于数列，当时，；时，；时，，

所以，数列的前项和为取得最小值时，或.

故选：BC

三、填空题

13．已知直线l1：3x+y﹣3＝0， l2：6x+my+1＝0， 若直线l1垂直于l2，则实数m＝_____

【答案】

【分析】解方程即得解.

【详解】解：由题得.

故答案为：

14．已知数列的前项和，则______.

【答案】7

【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案.

【详解】当时，；

当时，.

所以，所以.

故答案为：

15．已知椭圆的短半轴长为2，离心率为，则椭圆的长轴长是__________．

【答案】8

【分析】由已知可求得，再根据离心率和的关系，即可求出，进而求得长轴长.

【详解】因为椭圆的短半轴长为2，所以，

由离心率为可得，

由 解得，所以椭圆的长轴长是8.

故答案为：8

16．若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．

【答案】4

【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可.

【详解】抛物线方程化为标准形式为，

由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6，

所以点P到x轴的距离为4．

故答案为：4

四、解答题

17．已知等差数列满足，且.

(1)求数列的通项公式：

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）首先根据已知条件列方程求出，再根据等差数列通项公式求即得；

（2）由题可得，再利用裂项相消法求和即得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

∵，则由，得，

解得，

所以；

（2）由题可得，

所以

.

18．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)求过点且与圆相切的直线方程．

【答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；

(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0．

【分析】（1）由圆心在直线上，设圆心为（1，t），再由经过，两点可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；

（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得

d＝＝2，求得即可得解.

【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），

则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，

解可得t＝0，

即圆心的坐标为（1，0），

圆的半径r＝＝2，

则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；

（2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，

过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，

则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；

则有d＝＝2，解可得k＝0或；

故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．

19．在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦的长．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程.

（2）联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，而，则，

故，故，故椭圆方程为：.

（2）椭圆的右焦点坐标为，则直线，

由，故，

设，故.

20．已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，，且，，O为坐标原点．

(1)求双曲线C的离心率；

(2)若的面积为2，求点P的坐标．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）利用双曲线定义及勾股定理即可得到双曲线C的离心率；

（2）利用点在曲线上及三角形面积公式可得点P的坐标．

【详解】（1）∵，，∴，，

∵，∴，化为：，

∴，，即双曲线C的离心率为．

（2）由题意可得：，，

又，解得，，，

所以，双曲线方程为，

把代入双曲线方程，得：，，解得．

∴．