*新阶段学习导入语

线性规划是目前应用非常广泛也非常成功的一种数学方法，但由于实际问题是复杂的，千变万化的，因此下面仅举一些经过简化的几种不同类型的问题.

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学习的重点

3

*揭示课题

了        前面我们已经学习了三种解线性规划问题的方法分别为图解法、

 表格法、Excel软件法.它们各有利弊，本节就实际问题，选用式当的方

法解决线性规划问题.

3

这就是我们将要研究学习的5.5线性规划问题的应用举例.

介绍

说明

了解

引入教学内容

5

*创设情景 兴趣导入

案例1  投资问题

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求解.

解  设投资人投资甲项目万元，投资乙项目万元.

目标函数最大化，满足

画出可行域，

如图5-10

作出目标函数 的0等值线。即,将0等值线项可行域内平行移动至点A处.此时目标函数取最大值.

解方程组

得点的坐标为（4，6）

所以，当=4,=6时，目标函数取得最大值

答  问题的最优解为分别投资甲、乙两项为4万元和6万元，其可能盈利最大为7万元.

案例2  生产安排问题

一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A 、B、C三种混纺面料 ，生产1单位产品需要的原料如下表（表5.15）所示：

表5.15

这三种产品的利润分别为4、1、5，每月可购进的原料限额为羊毛8 000单位，涤纶为6 000单位，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润？请建立线性规划模型，并用表格法求解.

解  设生产产品 A为 单位，产品 B为 单位，

产品C为 单位,

目标函数，

满足

表格计算过程如下（为简便起见，将3张表合并一起，用左边的序号表示表格的顺序 ）    

表5.16

得到最优解：生产A为2 500单位，B为0单位，C为250单位，最大利润为11 250单位 .

案例3  环境保护问题

某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图5-11所示，已知流经甲厂的河水日流量为,在两厂之间有一条河水日流量为的支流. 甲、乙两厂每天生产工业污水分别为和，甲厂排出的污水经过主流和支流交叉点P后已有20%被自然净化.按环保要求，河流中工业污水的含量不得超过0.2%，为此两厂必须自行处理一部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污水的成本分别为1 000元和800元.问：在满足环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水，才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型，并求解.

解 设甲、乙两厂每天分别处理污水量为、（单位：）.

目标函数    .

在甲厂到P点之间，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足

≤

在点P到乙厂之间，河水中污水含量也不得超过0.2%，所以应满足

≤

流经乙厂以后，河水中污水含量仍不得超过0.2%，所以应满足

≤

综上，得线性规划模型：

目标函数    

满足

利用Excel软件求解结果为

总费用最少为1 640元.

案例4  混合问题

某养猪场所用的混合饲料由 A 、 B 、 C三种配料组成，表5.17给出1单位各种配料所含的营养成分，单位成本以及1份混合饲料必须含有的各种营养成分，问如何配制饲料时成本最小？

表5.17

解  设  为混合饲料中第中配料的含量，,

目标函数   ,

满足

利用Excel软件求解（请读者完成）结果为

总费用最少为44.

案例5  运输问题

设有两座铁矿山A、B，另有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿石才能使总费用最小？

表5.18

解  设为从 A 运到甲厂的运量，

      为从 A运到乙厂的运量，

      为从 A运到丙厂的运量，

      为从 B 到甲厂的运量，

为从 B到乙厂的运量，

为从 B到丙厂的运量，

   根据表中给出的条件，建立线性规则模型如下：

满足

利用Excel软件求解（请读者完成），结果为

总费用最少为525元.

案例6  下料问题

将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，长0.98m的需1 000根，长0.78m的需2 000根，问怎样截法，才能使所用钢管最少？

解 将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，共有如表5.19所列可能截法.

表5.19

显然，为了节省钢管，不能一根钢管只截一段一种规格的材料，而应采用合理套截方法，为此，必须综合考虑这6种截法.

设采用第种截法的钢管数为根（）

建立线性规划模型：

目标函数      

满足

利用Excel软件求解，结果为

最少钢管数为520根.

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找出可行域

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引导

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课件

思考

自我

建构

明确可行域为阴影部分

观看

课件

思考

讨论

从实际问题出发，学生自然

的学习知识点

图像法解决

回忆

图像法的解题步骤

分析题意，选择解题方法

表格法解决

15

25

35

45

55

65

*运用知识 强化练习  

练习5.5

1.食品 A、B中都含有维生素、淀粉和蛋白质，但单位含量各不相同，价格也各不相同，数据如下表所示：

今有一消费者购买上述两种产品，要求其中维生素、淀粉和蛋白质的单位数不能低于90、100、120.该消费者应购买A、B各多少，才能使营养适当而价格最低？

2.现有一批7.4m长的钢管，生产某产品需长2.9m,2.1m,1.5m的三种钢管各为100，100，120根，问如何截取才可使原材料最省？

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

75

*理论升华 整体建构

本次课重点学习了选用适当的方法解线性规划问题.

总结

归纳

交流

理解

体会

从整体再一次

突出解题方法

80

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

（1）本次课学了哪些内容？

（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？

（3）在学习方法上有哪些体会？

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

88

*继续探索 活动探究

(1)阅读理解： 教材5.5；

(2)书面作业：学习与训练5.5训练题；

(3)实践调查： 应用适当的方法解线性规划问题.

说明

记录

90