华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试精练

第十四章 勾股定理（测能力）——2022-2023学年华东师大版数学八年级上册单元闯关双测卷

【满分：120】

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.一个三角形的两边长为4和5，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为(   )

A.3 B. C.或3 D.9

2.如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9和25，则直角三角形的面积为(   )

A.6 B.9 C.12 D.24

3.如图，第9号台风“利奇马”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是(   )

A.5 m B.8 m C.9 m D.12 m

4.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是400m/min，甲客轮用15min到达A处，乙客轮用20min到达B处.若A、B两处的直线距离为10000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(   )

A.北偏西30°方向 B.南偏西30°方向 C.南偏东60°方向 D.南偏东30°方向

5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于(   )

A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm

6.如图,在四边形中,,,分别以点为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点E,作射线交于点F,交于点O.若点O是的中点,则的长为(   )

A. B.4 C.3 D.

7.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知米，米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走________米路(   )

A.20，50 B.50，20 C.20，30 D.30，20

8.如图，一架梯子25米，斜靠在一面垂直于地面的墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了(   )

A.4米 B.6米 C.8米 D.10米

9.如果正整数a，b，c满足等式，那么正整数a，b，c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为(   )

A.47 B.62 C.79 D.98

10.2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”（如图①），它是由4个全等的直角三角形（不等腰）拼接而成的.如图，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使，连接DP，BP，DQ，BQ，则构成了一个“压扁”的弦图.问题：线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积依然满足？(   )

A.存在且唯一 B.存在多个 C.不存在 D.无法确定

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为_________.

12.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____________cm（杯壁厚度不计）.

13.如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度__________.

14.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，且已知“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_____________.

15.下列命题：①若n是正整数，则3n，4n，5n是一组勾股数；②若n是整数且，则，2n，是一组勾股数；③若n是正整数，则，，是一组勾股数；④若m，n都是正整数，且，则，2mn，是一组勾股数，其中是真命题的有___________.（填序号）

三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

16.（8分）满足的三个正整数，称为勾股数.

（1）请把下列三组勾股数补充完整：

①__________，8，10；②5，________，13；③8，15，__________.

（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，.请你帮小敏证明这三个数2mn，，是勾股数.

（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数，求的值.

17.（8分）如图，已知，，AC和BD交于点O，于点E.

（1）与全等吗？请说明理由；

（2）若，，求的面积.

18.（10分）某市进行老城区道路改造，原来从小明家A地到商场F地需要沿着连续多次直角拐弯行进，造成出行困难（行走各段路程数据如图所示），道路改造后可从小明家A地直达商场F地.求从小明家到商场的路程比原来缩短了多少米.

19.（10分）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量m，m，m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长.

20.（12分）如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸l的距离分别为400m，200m，且m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.问在何处饮水牧童所走的路程最短？最短路程是多少？

21.（12分）如图，在中，，

（1）P为BC上的中点，求证：；

（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；

（3）若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，BP，CP之间的数量关系.

答案以及解析

1.答案：C

解析：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边长是；

当长是5的边是斜边时，第二边长是.所以第三边长为或3.故选C.

2.答案：A

解析：，，cm，cm，，cm，直角三角形的面积.故选A.

3.答案：B

解析：根据勾股定理可知：折断的树高，所以折断的树高m，则这棵大树折断前的树高m.故选B.

4.答案：C

解析：由题意可得甲客轮航行的路程为（m），乙客轮航行的路程为（m），，甲、乙两艘客轮的航行路线呈垂直关系，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，乙客轮的航行方向可能是南偏东60°方向或北偏西60°方向.故选C.

5.答案：B

解析：在中，，，，，由题意得，，设，在中，，，，.故CD的长为3cm.故选B.

6.答案：A

解析：如图,连接,则,

.在和中,,

.

在中,.

7.答案：B

解析：在中，米，米，，米，（米），他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米路.故选B.

8.答案：C

解析：如图，由题意知米，米，米，在直角中，，米，（米），在直角中，，米，米.故选C.

9.答案：C

解析：由题可得，，，…，，，，当时，，，，，故选C.

10.答案：C

解析：因为，所以.又因为，所以，则易证，则，易证，则.设，，，则，，若，则，整理得，因为是压扁后的弦图，所以，所以，因此只有当时，，此时.因为，所以不存在满足题意的点，故选C.

11.答案：

解析：由题图得，长方形的长是正方形的对角线的长，为2，长方形的宽是正方形对角线的一半，为1，则长方形的对角线长为.

12.答案：20

解析：如图，将圆柱侧面展开，延长AC至，使，连接，则线段的长为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离.过B作，垂足为.在中，cm，cm，所以，所以cm，即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.

13.答案：2米

解析：如图，作，，，，在和中，，，，，即（m），m.（m），m，m，m，易知m，又m，（m）.马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.

14.答案：西北方向

解析：根据题意，得（海里），（海里），海里.，即，.由“远航”号沿东北方向航行可知，，则，即“海天”号沿西北方向航行.

15.答案：①②③④

解析：①，正整数3n，4n，5n是一组勾股数.①是真命题.

②，正整数，2n，是一组勾股数，②是真命题.③，正整数，，是一组勾股数.③是真命题.④，正整数，2mn，是一组勾股数.④是真命题.综上，填①②③④.

16.答案：（1）解：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17.故答案为6，12，17.

（2）证明：，，

，，，2mn是勾股数.

（3）解：化简得7，24，25.

偶数，，，

，，.

17.答案：（1）与全等.

理由：在和中，

，

所以.

（2）因为，

所以，

因为于点E.

所以，是直角三角形，

所以，所以，

所以.

18.答案：如图所示，过点A作于H，

则在中，（米），

（米），由勾股定理得米，

故改造后小明家与商场的距离为100米，

改造前小明家与商场的距离为（米），

缩短距离：（米）.

答：从小明家到商场的路程比原来缩短了80米.

19.答案：过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路.

，，

，为直角三角形.

由三角形的面积公式知，

，

m，即新建的路的长为480m.

20.答案：如图所示，作点A关于直线l的对称点G，连接GB交CD于点E，连接AE，则在E处饮水牧童所走的路程最短.

理由：

在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI，BI，GI.

点G，A关于直线I对称，

，，

，.

由“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”可得，

在E处饮水牧童所走路程最短，最短路程为GB的长.

过点G作BD的垂线，与BD的延长线交于点H.

m，

m，

在中，由勾股定理，得.

m，即最短路程为1000m.

21.答案：（1）证明：如图（1）所示，连接AP.

，P是BC中点，

，.

在中，，

.

又，，

.

（2）成立.

如图（2）所示，连接AP，作，交BC于D.

，，.

在中，.

同理，，

，

又，，

，

.

（3）.

如图（3），P是BC延长线上任意一点，连接AP，并作，交BC于D.

，，

.

在中，，

在中，，

.

又，，

，

.