2021学年3.3 函数的实际应用举例达标测试

专题07 函数的性质

【考点梳理】

考点一：

1．函数的单调性

(1)增函数与减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是               ．

②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是               ．

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)          ，区间D叫做y＝f(x)的             ．

例1.下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（       ）

A． B．

C． D．

变式1.下列函数中，在区间上为增函数的是（       ）

A． B． C． D．

例2.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

变式2.已知在为单调函数，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

例3.如图是函数的图象，则函数的减区间是（       ）

A． B． C．    D．

变式3.函数f (x)=在R上（       ）

A．是减函数 B．是增函数

C．先减后增 D．先增后减

例4.已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

变式4.已知在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围         .

考点二：

2．奇、偶函数的概念

(1)偶函数  

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有              ，那么函数f(x)就叫做偶函数．

(2)奇函数  

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有                ，那么函数f(x)就叫做奇函数．

(3)奇、偶函数的图象特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

(4)具有奇偶性函数的定义域的特点

具有奇偶性函数的定义域关于            ，即“定义域关于               ”是“一个函数具有奇偶性”的                           ．

例1.已知函数，则（       ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

变式1.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（       ）

A． B．

C． D．

例2.已知函数是奇函数，当时，，则（       ）

A． B． C． D．

变式2.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（       ）

A． B． C． D．

例3.若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为        .

变式3.若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.

例4.若函数是偶函数，则            .

变式4.函数是定义域为的偶函数，当时，，若，则（       ）

A．e B． C． D．

例5.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）．

A． B．

C． D．

变式5.已知是上的偶函数，在上单调递增，则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

考点三：

3．周期函数的概念

(1)周期、周期函数    

对于函数f(x)，如果存在一个                T，使得当x取定义域内                  的值时，都有                 ，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期     

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

(3)函数奇偶性与单调性之间的关系

(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为              ；

(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为               ．

(4)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)

奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

例1.若是周期为4的奇函数，且，则（       ）

A． B． C． D．

变式1.已知函数是定义在上的周期4的奇函数，若，则          .

例2.若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）的值是（       ）

A． B． C． D．

变式2.已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则，的值分别为（       ）

A．1，1 B．，1 C．0，1 D．0，

例3.  已知是以为周期的偶函数，且当时，，则          .

变式3.已知定义在上的函数满足，且，则的值为        .