高中数学高教版（中职）基础模块上册*5.4.2 含有三角函数的式子的求值与化简精练

专题11 同角三角函数的关系及诱导公式

【考点梳理】

考点一：

1．同角三角函数的基本关系

(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①sin2α＋cos2α＝1；   ②＝tanα．

(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．

例1.若为钝角，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】为钝角，，，故选：D.

变式1.如果，，那么（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，所以，故选：D.

例2.若，则（       ）

A． B．-3 C． D．3

【答案】B

【解析】由，故选：B.

变式2.已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故选：C.

例3.已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（       ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】由，将两边平方得，而，故为钝角，故选：B.

变式3.若，则（       ）

A．              B．            C．          D．

【答案】B

【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选：B.

例4.已知，则的值为（       ）

A． B．1 C．0 D．

【答案】C

【解析】由题：，故选：C.

变式4.已知，计算.

【答案】

【解析】解：.

例5.已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，又，即，解得，所以，故选：B.

变式5.若角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边为射线，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在射线上取一点，易知，则

，故选：A.

考点二：

2．三角函数的诱导公式

(1)诱导公式的内容：

(2)诱导公式的规律：

三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．

(3)诱导公式的作用：

诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：

例1.已知，，则（       ）．

A．            B．           C．            D．

【答案】A

【解析】由已知条件得，即，∵，∴，∴，故选：.

变式1.已知，且是第四象限的角，则=（       ）

A． B．– C．± D．±

【答案】A

【解析】因为是第四象限的角，所以，因为，所以，故，由诱导公式，，故选：A.

例2.已知，则（       ）

A．-3 B．-5 C． D．

【答案】B

【解析】，故选：B.

变式2.若，则（       ）

A． B． C．-3 D．3

【答案】C

【解析】，分子分母同除以，，解得：

故选：C.

例3.的值为（       ）．

A． B．0 C．1 D．不存在

【答案】B

【解析】，故选：B.

变式3.（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】，故选：A.

例4.已知，则            .

【答案】

【解析】因为，所以，故答案为：.

变式4.已知，则          .

【答案】

【解析】因为，所以，故答案为：.

例5.已知角的终边上有一点，则          .

【答案】

【解析】由三角函数的定义可得，因此，，故答案为：.

变式5.已知角的终边经过点（3，4），将角的终边绕原点逆时针旋转与角的终边重合，则

            .   

【答案】

【解析】依题意得，又，所以，故答案为：.