初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件练习题

1.7 全等三角形的判定(HL) 知识清单三角形全等的判定5：HL文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）图形：符号：在Rt与Rt中，方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．【详解】解：在和中 ∴故选A【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．2.（2021•承德校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（　　）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．3．（2021•昌平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（　　）A．40° B．50° C．70° D．71°【分析】根据已知条件得出△CDF≌△EDB，从而得出CD＝DE，从而得出△ACD≌△AED，从而得出∠DAE＝20°，即可得出答案．【解答】解：根据题意：在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CD＝DE，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠DAE＝20°，∴∠ADE＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质，难度适中．4．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（　　）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求证：△ABC≌△DEF，证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．5．（2022·全国初二课时练习）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B分析：先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．【解析】∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠2=∠3，∠1=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°．故选B．点评：本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．6．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，，，垂足分别为，，，则的依据是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，证明，进而可得答案．【详解】解：由题意知在和中 ∵∴故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．7．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．【答案】2或4【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．【详解】解：设点P的运动时间为t秒，∵，，∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．故答案为：2或4．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．8. （2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【分析】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9. （2021•城北区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE，先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．∴在Rt△BDC与Rt△AEC中，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．10．（2021·福建·龙岩初级中学八年级期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．【答案】证明见解析【分析】由题意可知和都为直角三角形，即可直接利用“HL”证明．【详解】证明：∵AD是的高，∴，即和都为直角三角形．∴在和中 ，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．11.（2021•姑苏区期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°，又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．【点评】此题考查直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？【答案】【分析】根据HL证明即可．【详解】解：根据题意，可知，，∴．∴（全等三角形的对应角相等）．∵（直角三角形的两锐角互余），∴．【点睛】本题考查了直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练1．（2021·江苏·无锡市第一女子中学八年级期中）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　）A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°【答案】B【分析】根据三角形三边的关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B、C、D进行判断．【详解】解：A、因为AB+AC＜BC，三条线段不能组成三角形，所以A选项不符合题意；B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根据直角三角形 可判断此三角形为唯一三角形，所以B选项符合题意；C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°根据 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C选项不符合题意；D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°根据 ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ．2．（2021·河北·八年级期末）如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（     ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可.【详解】解：由题意知在和中：∵∴(HL)∴，∴（1）、（3）正确∵，∴∴（2）正确 故选：D【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键．3．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（       ）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【分析】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立．【详解】解：如图示，连接，，是的平分线，，①正确．，②正确．只是过点，并没有固定，明显③不成立．故选：．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．4．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．【答案】13【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．【详解】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，AC=AC，CE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，在△EDC和△MBC中，，∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），故答案为：13．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．5.（2021•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝　 　时，△ABC和△APQ全等．【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm．【解答】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示： 在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝B＝8cm；②当P运动到与C点重合时，如图2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），即AP＝AC＝15cm．综上所述，AP的长度是8cm或15cm．故答案为：8cm或15cm．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．6．（2022·河北·一模）如图，是内的一条射线，为上一点，，垂足分别为，连接与交于点．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）依据，，可得，再根据，，即可得到；（2）依据，，即可得到，进而得出．【详解】解：（1），，，又，，；（2），，又，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．7．（2021•西湖区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．【分析】（1）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；（2）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，再根据题意，∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，又∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，所以，∠AED+∠BEC＝90°，即可证得∠DEC＝90°，即可得出．【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，而∠A＝∠B＝90°，AE＝BC∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE＝CE，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）结论：DE＝CE且DE⊥CE，理由如下：∵∠1＝∠2∴DE＝CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，又∵∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，∴2（∠AED+∠BEC）＝180°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥CE．【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．8．（2021·北京市第八中学怡海分校八年级期中）如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点．（1）若，则求的长；（2）求证：．【答案】（1）3；（2）见解析【分析】（1）通过证明，即可求解；（2）根据全等三角形的性质，求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：在和中∴∴故答案为3；（2）由（1）得，∴又∵∴∴∴【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．9．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠AFD＝180°，理由见解析；（3）BE＝ （m﹣n）．【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS即可证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB，得到∠CFD＝∠B，再根据邻补角的定义等量代换即可得解；（3）由AC＝AE，CF＝BE，根据AB＝AE+BE，AC＝AF+CF即可得解．【详解】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°，在△ACD和△AED中， ，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC＝DE，在Rt△CDF和Rt△EDB中， ，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD+∠AFD＝180°，∴∠B+∠AFD＝180°；（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，∴CF＝BE，由（1）知AC＝AE，∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+BE，∵AC＝AF+CF，∴AB＝AF+2BE，∵AB＝m，AF＝n，∴BE＝（m﹣n）．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是利用 、 证明三角形全等．10．（2022·山东聊城·八年级期末）如图，在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，连接FD．(1)求证：△BED≌△ACD；(2)若FC=c，FB=b，求的值．(用含a，b的式子表示)【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用得，又BE=AC，，因此可以通过HL定理证明；（2）作于点，作于点，由可得，利用即可求解．【解析】(1)证明：在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC，，，，在和中，，，即．(2)解：如图所示，作DG⊥BE于点G，作DH⊥AC于点H，由（1）知，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．2．（2022·江苏扬州·二模）如图，，，，则______°．【答案】25【分析】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可．【详解】解：∵，∴△ABC和△ADC是直角三角形，∵AC＝AC，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,∴∠DAC＝∠BAC，∵，∴∠DAC＝∠BAD＝65°，∴90°－∠DAC＝25°．故答案为：25．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，AD、分别是锐角和中、边上的高，且，，请你补充一个适当的条件：_________，使．【答案】（答案不唯一）【分析】根据HL推出Rt△ADB≌Rt△A1D1B1，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B1，根据AAS推出全等即可．【详解】解：∠C=∠C1，理由是：∵AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，∴∠ADB=∠A1D1B1=90°，在Rt△ADB和Rt△A1D1B1中 ∴Rt△ADB≌Rt△A1D1B1（HL），∴∠B=∠B1，在△ABC和△A1B1C1中∴△ABC≌△A1B1C1（AAS），故答案为：∠C=∠C1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．（2022·江苏·中考模拟）在中，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且.（1）求证：（2）若，求度数.【答案】(1)见解析；（2）.【分析】（1）利用“HL”证明两个三角形全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得，根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABC=90°，在和中，∴（HL）；（2）∵，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．5．（2022·辽宁大连·二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．【答案】见解析【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．【详解】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴BD＝AC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等．6．（2022·广西桂林·一模）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE交于点M，，，．(1)证明：；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据线段和差可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．(1)证明：，，即，，和都是直角三角形，在和中，，．(2)解：，，由（1）已证：，，．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题关键．7．（2022·浙江温州·一模）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，连结AC，AD，∠ACD＝∠ADC．(1)求证：．(2)若，∠ACD＝65°，求∠BAE的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BAE＝130°【分析】（1）先根据等角对等边得出，再根据即可证明出结论；（2）根据三角形内角和定理得出∠DAC＝50°，再根据平行线的性质得出∠EAC＝90°，从而∠DAE＝40°，最后由全等三角形的性质可得出∠DAE＝∠BAC＝40°，进一步可得出结论．(1)∵∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD．又∵∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，∴（HL）．(2)∵∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠DAC＝180－65×2＝50°，∵，∴∠E＝∠EAC＝90°，∴∠DAE＝40°，∵，∴∠DAE＝∠BAC＝40°，∴∠BAE＝∠EAC＋∠BAC＝130°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．8．（2021·广东汕头·一模）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)若∠ABC＝32°，求∠CAO的度数．【答案】(1)见解析(2)∠CAO＝26°【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）利用全等三角形的性质证明即可．(1)证明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=32°，∵∠C=90°，∴∠BAC=58°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=58°-32°=26°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．9．（2021·陕西师大附中模拟预测）如图，四边形中，点、点分别在、上，且，分别过点、向作垂线，垂足分别为点、点，且．求证：．【答案】见解析【分析】证明Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），推出∠AEG=∠CFH，可得结论．【详解】证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，∴∠G=∠H=90°，在Rt△AGE和Rt△CHF中，，∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），∴∠AEG=∠CFH，∵∠AEG=∠BEF，∴∠BEF=∠CFH，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．10．（2021·云南玉溪·模拟预测）如图，在与中，点C在线段BD上，且，，，．（1）求证：．（2）求的度数．【答案】（1）见详解；（2）90°．【分析】（1）证明Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），由全等三角形的性质得出AB=CD，进而解答即可．（2）由全等三角形的性质得出∠ACB=∠CED，则可得出答案．【详解】证明：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠CDE=90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴AB=CD，BC=DE，∴BD=CD+BC=AB+DE．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠ACB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∵∠ACB+∠ECD+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．11．（2022·浙江·模拟预测）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据旋转全等模型容易找到和全等的条件，从而可以证明；（2）由是等腰直角三角形易求，，根据得，再由即可求.【详解】（1）证明：，，在和中，，；（2），，，又∵，，，，，，，即．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．