【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第23练 等比数列的前n项和【讲义+习题】
展开第23练 等比数列的前n项和
一、选择题
1．数列1,5,52，53，54，…的前10项和为( )
A.(510－1) B.(510－1)
C.(59－1) D.(511－1)
答案 B
解析 因为数列是以1为首项，以5为公比的等比数列，
所以S10＝＝(510－1)．
2．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，a3＋a4＝12，则公比q等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由题意，正项等比数列{an}中，
因为S2＝3，a3＋a4＝12，
所以⇒
解得q2＝4.
因为q>0，所以q＝2.
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A．180 B．108 C．75 D．63
答案 D
解析 由题意得S7，S14－S7，S21－S14成等比数列48,12,3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
4．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为( )
A．a(1＋r)17
B.[(1＋r)17－(1＋r)]
C．a(1＋r)18
D.[(1＋r)18－(1＋r)]
答案 D
解析 根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)17，
同理，孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)16，
孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)15，
……
孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)，
可以看成是以a(1＋r)为首项，1＋r为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为
S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋…＋a(1＋r)＝＝[(1＋r)18－(1＋r)]．
5．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值为常数的是( )
A. B.
C. D.
答案 ABC
解析 因为在等比数列{an}中满足8a2＋a5＝0，设公比为q，所以8a2＋a2q3＝0，即q3＝－8，解得q＝－2，所以＝＝4，＝q＝－2，Sn＝＝，
所以＝＝，
＝＝.
二、填空题
6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.
答案 5
解析 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得
整理得
解得n＝5.
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
答案 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝×3n＋t，∴t＝－.
8．在14与之间插入n个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为________．
答案 5
解析 设此等比数列的公比为q，
则⇒故此数列共有5项．
9．我国古代数学著作《九章算术》中记载有如下问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，则两鼠相逢需要的天数最小为________．
答案 3
解析 设大鼠、小鼠每天所打洞的厚度分别构成数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为An，Bn，则{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
{bn}是以1为首项，为公比的等比数列，
故An＝＝2n－1，
Bn＝＝2－n－1.
令An＋Bn≥5，即2n－1＋2－n－1≥5，
解得n≥3.
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}是等比数列，公比为q(q>0)，且满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)因为数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n(n∈N*)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，
又当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，
所以an＝2n＋1(n∈N*)．
(2)由(1)可知S1＝3，a2＝5，a3＝7，
又b2＝S1＝3，b4＝a2＋a3＝12，
又数列{bn}是等比数列，
所以q2＝＝4，又q>0，
所以q＝2，则b1＝＝，
因此，Tn＝＝＝(2n－1)．
