【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第25练 数学归纳法【讲义+习题】

第25练　数学归纳法

一、选择题

1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明：an<an＋1，在验证n＝1成立时，不等式右边计算所得结果是(　　)

A.  B．1  C.  D．2

答案　C

解析　当n＝1时，不等式右边为a2＝1＋＝1＋＝.

2．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为(　　)

A．2k＋1   B．2(2k＋1)

C.   D.

答案　B

解析　当n＝k时，左端为(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k，

当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)，

因为(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝[(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k]·2(2k＋1)，

所以从k到k＋1左端需要增乘的代数式为2(2k＋1)．

3．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有1－＋－＋…＋－＝2，在验证n＝2正确后，归纳假设应写成(　　)

A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立

B．假设n≥k(k∈N*)时命题成立

C．假设n＝2k(k∈N*)时命题成立

D．假设n＝2(k＋1)(k∈N*)时命题成立

答案　C

解析　因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证n＝2正确后，

归纳假设应写成：假设n＝2k(k∈N*)时命题成立．

4．用数学归纳法证明>对任意n>k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　当n＝1时，＝＝，＝，

<，不等式不成立；

当n＝2时，＝＝，＝，<，不等式不成立；

当n＝3时，＝＝，＝，>，不等式成立；

当n＝4时，＝＝，＝，>，不等式成立，

所以满足题意的k的最小值为2.

5．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法

B．数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1

C．数学归纳法的两个步骤缺一不可

D．用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上

答案　CD

解析　与正整数n有关的数学命题的证明不一定只能用数学归纳法，如：证明＋＋…＋＝(n∈N*)时，可用数学归纳法，也可使用裂项相消法求和，故A错误；

数学归纳法的第一步n0的初始值不一定为1，如：证明当n为偶数时，xn－yn能被x＋y整除．初始值为2，故B错误；

数学归纳法的两个步骤缺一不可，且用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上，故C，D正确．

二、填空题

6．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边为________．

答案　1＋a

解析　当n＝1时，等式左边为1＋a.

7．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1，k∈N*)不等式成立，推证n＝k＋1时，不等式左边增加的项数共______项．

答案　2k

解析　当n＝k时，不等式为1＋＋…＋<k，当n＝k＋1时，不等式为1＋＋…＋<k＋1，

右边增加＋＋…＋，项数有2k＋1－1－2k＋1＝2k.

8．用数学归纳法证明＋＋…＋>(n＞1且n∈N*)，第一步要证明的不等式是______________________．

答案　＋＋＋>

解析　∵n＞1，∴第一步应证明当n＝2时不等式成立，

即＋＋＋>.

9．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为____________________．

答案　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6

解析　(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5

＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.

∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，

∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.

三、解答题

10．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4；

(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

解　(1)由Sn＝1－nan(n∈N*)得，

a1＝S1＝1－a1，解得a1＝；

由S2＝a1＋a2＝1－2a2，解得a2＝；

由S3＝a1＋a2＋a3＝1－3a3，解得a3＝；

由S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1－4a4，解得a4＝，

所以计算得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝.

(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，猜想显然成立．

②假设n＝k时，猜想成立，即ak＝.

那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，

即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.

又Sk＝1－kak＝，

所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，

从而ak＋1＝

＝.

即n＝k＋1时，猜想也成立．

故由①和②可知，猜想成立．