【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第20练 等差数列的前n项和【讲义+习题】

第20练　等差数列的前n项和

一、选择题

1．在等差数列{an}中，若a3＋a8＝8，则该数列的前10项和S10等于(　　)

A．16  B．32  C．40  D．80

答案　C

解析　S10＝＝(a3＋a8)＝40.

2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　C

解析　Sn为等差数列{an}的前n项和，设公差为d，

∵a4＋a5＝24，S6＝48，

∴解得a1＝－2，d＝4，

∴{an}的公差为4.

3．在数列{an}中，首项a1＝2，且点(an，an＋1)在直线x－y＝2上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)

A．3n－1   B．－n2＋3n

C．3n＋1   D．n2－3n

答案　B

解析　点(an，an＋1)在直线x－y＝2上，可得an－an＋1＝2，

即an＋1－an＝－2，可得数列{an}是首项为2，公差为－2的等差数列，

则Sn＝2n＋n(n－1)·(－2)＝3n－n2.

4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，

所以＝＝＝＝＝＝.

5．(多选)设等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12>0，a7<0，则(　　)

A．S5＝60

B．－4<d<－3

C．a6>0

D．当Sn<0时，n的最小值为13

答案　ACD

解析　∵数列{an}是等差数列，∴S5＝5a3＝60，故选项A正确；

∵S12>0，

∴a6＋a7>0，

又∵a7<0，

∴a3＋3d＋a3＋4d>0且a3＋4d<0，

解得－<d<－3，故选项B错误；

∵a6＋a7>0，a7<0，

∴a6>0，故选项C正确；

∵S12>0，S13＝13a7<0，

∴当Sn<0时，n的最小值为13，故选项D正确．

二、填空题

6．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝4n2－n，则{an}的通项公式为________________．

答案　an＝8n－5(n∈N*)

解析　当n＝1时，a1＝S1＝4×12－1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n2－n－[4(n－1)2－(n－1)]＝8n－5.上式对于n＝1时也成立．

综上可知，an＝8n－5(n∈N*)．

7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝__________.

答案　60

解析　 ∵数列{an}是等差数列，

则S10，S20－S10，S30－S20仍然构成等差数列，

由S10＝10，S20＝30，得2×20＝10＋S30－30，

∴S30＝60.

8．一音乐厅共有30排座位，从第二排起每一排比前一排多2个座位，如果最后一排有

120个座位，那么这个音乐厅一共有__________个座位．

答案　2 730

解析　 ∵音乐厅有30排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有120个座位，

∴每排座位数组成以120为首项，－2为公差的等差数列，

∴座位总数为这个等差数列的前30项和S30＝30×120＋×(－2)＝ 2 730(个)．

9．已知公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，则S12＝________.

答案　0

解析　根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

又由a＋a＝a＋a，则有a－a＋a－a＝0，

变形可得(a8－a5)(a8＋a5)＋(a7－a6)(a7＋a6)＝0，即3d(a8＋a5)＋d(a7＋a6)＝4d(a7＋a6)＝0，

因为d≠0，则a7＋a6＝0，

由等差数列的性质得a1＋a12＝0，所以S12＝0.

三、解答题

10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，______.从①S6＝51；②an＝an－1－3；③S5＝a3a5中任选一个，补充在问题中并作答：

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值．

解　若选①：

(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得

解得所以an＝3n－2.

(2)由(1)可知，an＝3n－2，所以数列{an}是递增数列，故Sn的最小值为S1＝1，无最大值．

若选②：

(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d＝an－an－1＝－3，

因为a3＝a1＋(3－1)×(－3)＝7，解得a1＝13，所以an＝－3n＋16.

(2)由(1)可得an＝－3n＋16，

令

解得≤n≤，又n∈N*，所以n＝5，

故Sn的最大值为S5＝＝35，无最小值．

若选③：

(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得

解得

所以d＝＝－1，故a1＝a3－2d＝9，所以an＝－n＋10.

(2)由(1)可知an＝－n＋10，令an＝0，解得n＝10，

故Sn的最大值为S9＝S10＝＝45，无最小值．