【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》培优分阶练（含解析）

2.3  二次函数与一元二次方程、不等式

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1.下等式的解集为的是(　　)

答案

解析 恒成立，

所以不等式的解集为，正确．

故选：．

2.不等式的解集为(　　)

A．      B．

C．          D．

答案

解析 ，

故选.

3.若不等式的解集是，则的范围是(      )

A．       B．      C．       D．

答案

解析 由解集为，即为恒成立成，

可得：当时；成立；

当时；成立；

当时；不成立.

综上可得实数的取值范围.

4.不等式的解集是，则的值为(　　)

答案

解析 由不等式的解集是，

得和是方程的解，

由根与系数的关系知，，解得，；

所以．

故选：．

5.已知不等式的解集为，则不等式的解集为(     )

A．                   B．

C．                     D．

答案

解析 由题意可知的两个根为，

，，

不等式即为，

解不等式得解集为.

二、多选题

6.若不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　）

A.             B. 关于的不等式解集为  

C.      D. 关于的不等式解集为
答案

解析 ：的解集是，则，正确．
C：由题意知令，由的解集是，

可得，正确．
B：由题意知的解是，，则由韦达定理得，

即变为，即，即或，
关于的不等式解集为，错误，正确．
故选：

三、填空题

7.若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是      . 

答案

解析 由题意可知恒成立，当时成立，

当时需满足，代入求得，

所以实数的取值范围是。

8.不等式的解集是              . 

答案

解析 由得，所以解集为.

9.设，则关于的不等式的解是            .   

答案

解析 方程的两根为，

因为，所以，结合函数的图象，得原不等式的解是。

四、解答题

10.已知不等式的解集为．

(1)求；(2)解不等式．

答案  (1) ，. 

 (2) 时解集为；时解集为；时解集为.

解析 (1)由已知是方程的根，则，

方程为.    

(2)原不等式为

时解集为；

时解集为；

时解集为.

11.若不等式的解集是

(1)求不等式的解集．

(2)已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集．

答案  (1).   (2)

解析  (1)因为等式的解集是}，

所以和是一元二次方程的两根，

，解得，

不等式可化为，即，

，解得，

所以不等式的解集为；

(2)由(1)知，二次不等式的解集为，

和是一元二次方程的两根，

，，解得，，

所以不等式可化为：，

即，解得．

所以关于的不等式的解集为．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1.已知集合，集合，集合，则集合的关系为  (　　)

答案

解析 ，即，，则，

又，即，，则，

，，则，

，，故选：．

2. 已知集合，则等于(　　)

答案

解析 由题意知、是方程的两根，

代入方程得，解得、；所以．故选：．

3. 已知不等式的解集是，，则不等式的解集是(　　)

答案

解析 不等式的解集是，

则，是一元二次方程的实数根，且；

，；

不等式化为 ，

；化为；

又，；

不等式的解集为：|}，

故选：．

4.不等式的解集为，若，则(　　)

答案

解析 不等式的解集为，

则是对应方程的两个实数根，，

又，

不妨令，，则，，但，选项不成立；

令，，则，但，选项不成立；

令，，则，，但，选项不成立；

，选项正确．

故选：．

5.已知关于的不等式的解集是，则下列结论中错误的是(　　)

答案

解析 由关于的不等式的解集是，

，是一元二次方程．

，．

．

由，可得：是错误的．

故选：．

二、多选题

6.关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的取值可以是(　　)

答案

解析 设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示；

若关于的一元二次不等式0的解集中有且仅有个整数，则

，即，解得，又，

所以．

故选：．

三、填空题

7. 已知关于的不等式的解集是，则          .

答案

解析 由不等式判断可得且不等式等价于

由解集特点可得.

8.关于的方程的两根分别在区间和内，则实数的取值范围是      

答案 或

解析 设函数，

方程的两根分别在区间和内，

函数的两个零点分别在区间和内，

，即，解得：或.

9.若不等式的解集是的子集，则实数的取值范围是      .

答案

解析 关于的不等式化为，

其解集是的子集，

当时，不等式为，其解集为空集，符合题意；

当时，不等式的解集为，也符合题意；

当时，不等式的解集为，应满足；

当时，不等式的解集为，此时不满足题意；

综上，实数的取值范围是．

四、解答题

10.解关于的不等式：

解析 化简为

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

11.关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围.

答案 ，或．

解析 不等式恰有个整数解，

即恰有两个解，

，即，或．

当时，不等式解为，

，恰有两个整数解，即：，

，，解得：；

当时，不等式解为，

，恰有两个整数解即：，

，，解得，

综上所述：，或．

12.已知关于的方程 求：

(1)方程有两个正根的充要条件．(2)方程至少有一个正根的充要条件．

答案 (1) 或   (2) 或

解析 (1)方程有两个实根的充要条件是：，

即：，

即：或且，

设此时方程两根为  

 有两正根的充要条件是：

或即为所求．

(2)从(1)知或方程有两个正根

当时，方程化为有一个正根

方程有一正、一负根的充要条件是：

综上：方程至少有一正根的充要条件是或．

培优第三阶——高考沙场点兵

1.(2022•高邮市校级模拟)已知集合，，若，则实数的取值范围为(     )

A． B． C． D．

答案

解析 集合，

，

，，，

实数的取值范围为．

故选：．

2.(2022•岳阳二模)已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为(     )

A． B． C． D．

答案

解析 关于的不等式的解集为，其中，

所以和是方程的实数根，

由根与系数的关系知，解得，，

所以，当且仅当，即时取“”，

所以的最小值为．

故选：．

3.(2022•玄武区模拟)已知关于的不等式的解集为，则的最大值是(     )

A． B． C． D．

答案

解析 不等式的解集为，

根据韦达定理，可得：，

那么：．

，，即

故的最大值为．

故选：．

4.(2022•潍坊二模)已知正实数满足，则的最大值为(     )

A． B． C． D．

答案

解析 设，即代入原式整理得，

因为，所以关于的方程有正根．

即，解得，

所以，

所以的最大值为，即选项正确．

故选：．

5.(2022•丹东模拟)(多选) 如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为(     )

A． B． C． D．

答案

解析 不等式可化为，

因为不等式的解集为，所以，得．

验证时，；时，；

所以可取到的值为和．

故选：．

6. (2022•重庆模拟)已知关于的方程在上有实数根，，则的取值范围是　         ．

答案

解析 设方程的根为，则，，

，，

，

设，则，

，，

，．

故答案为：．

7.(2022•和平区校级二模)已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数的取值范围为 　    ．

答案

解析 ，，

当时，原不等式化为，，不符合题意；

当时，不等式为，其中解集中必有元素，

若五个整数是时，可得，此时解集为空集，

若五个整数是时，，此时解集为空集，

若五个数为时，，解得，

若五个数为时，，此时解集为空集，

右五个数为时，，此时解集为空集，

当时，不等式的解集为，其中解集中必有，

若五个整数是时，，此时解集为空集，

若五个数是时，，此时解集为空集，

若五个数是时，，解得，

若五个数为时，，此时解集为空集，

若五个数为时，，此时解集为空集，

故答案为：．