高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式随堂练习题

7.1.2全概率公式   ---B提高练

一、选择题

1．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为(　　)

A．0.025              B．0.08           C．0.07              D．0.125

【答案】A

【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.

2．（2021·湖北省团风中学高二月考）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，

由全概率公式可得.

3．（2021·江苏启东高二月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　)

A.                    B.             C.                 D.

【答案】B

【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝.

P(B1|A)＝＝＝÷＝.故选B.

4. 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:

现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为(　　)

A.0.814           B.0.809  C.0.727                 D.0.652

【答案】A

【详解】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,

P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)= =0.9,P(A2)=0.4,

P(B|A2)= ≈0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)= ≈0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)= ≈0.652.

由全概率公式,得P(B)=P(Ai)P(B)=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.

5. （2021·辽宁锦州市·高二月考）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由______车间生产的可能性最大(　　) 

A.甲             B.乙               C.丙                  D.无法确定

【答案】A

【详解】选A.设A1,A2,A3表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A1,A2,A3是样本空间Ω中的事件,且有P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,

P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.

由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+

P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.

由贝叶斯公式得P(A1|B)=≈0.514,

P(A2|B)=≈0.200,P(A3|B)=≈0.286,

所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.

6．（多选题）（2021·江苏无锡市高二月考）在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,症状S 在病人中占60%.则(　　)

A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02

B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4

C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45

D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25

【答案】ABC

【详解】P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,

由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.

由贝叶斯公式得:P(D1|S)===0.4,

P(D2|S)===0.45,P(D3|S)===0.15.

二、填空题

7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．

【答案】0.4

【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.

所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.

8．（2021·全国高二单元测）10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．

【答案】　

【详解】设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝.

9．（2021·全国高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．

【答案】0.4825

【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%， P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%， P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5， P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1， P(B|A4)＝0.05，

所以

10．（2021·全国高二单元测）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则P(C|A)＝______.(精确到0.001)

【答案】0.087

【详解】由题设，有P()＝1－P(C)＝0.995，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，

由贝叶斯公式，得P(C|A)＝≈0.087.

三、解答题

11．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：

(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；

(3)正品、次品各一只；

(4)第二次取出的是次品．

【解析】设Ai＝{第i次取正品}，i＝1,2.

(1)两只都是正品，则

P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.

(2)两只都是次品，则

P(12)＝P(1)P(2|1)＝×＝.

(3)一只是正品，一只是次品，则

P(A12＋1A2)＝P(A1)P(2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×＋×＝.

(4)第二次取出的是次品，则

P(2)＝P(A12＋12)＝P(A1)P(2|A1)＋P(1)P(2|1)＝×＋×＝.

12．假定患有疾病{d1,d2,d3}中的某一个的人可能出现症状S=中一个或多个,其中:

　　　　　S1=食欲不振　　　　 S2=胸痛

　　　　　S3=呼吸急促　　　　 S4=发热

现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?

【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,

P==0.387 5,P==0.262 5,

P==0.35,P=≈0.967 7,

P==0.8,P==0.5,

所以P=PP+PP+PP

=0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76.

由贝叶斯公式可得,

P==≈0.493 4,

P==≈0.276 3,

P==≈0.230 3.

从而推测病人患有疾病d1较为合适.