吉林省通榆县第一中学校2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试卷（含答案）

这是一份吉林省通榆县第一中学校2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试卷（含答案），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 考试分数 ：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知向量a=(1,2,1)，b=(-1,0,4)，则a+2b=( )
A. (-1,4,5)B. (-1,2,9)C. (1,2,-7)D. (1,4,9)
设x,y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b//c，则|a+b|=( )
A. 22B. 10C. 4D. 3
下列说法正确的是( )
A. 若a,b是两个空间向量，a,b则不一定共面
B.若P在线段AB上，则AP=tAB(0≤t≤1)
C. OA-OC=AC
D. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点为A’(-1,-2,3)
对于任意非零空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，给出下列三个命题：
①a//b⇔a1b1=a2b2=a3b3； ②若a1=a2=a3=1，则a为单位向量；
③a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0． 其中真命题的个数为( )
A. 3B. 2C.1D. 0
若直线l的一个方向向量为(-1,3)，则它的倾斜角为( )
A. 30°B. 120°C. 60°D. 150°
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是( )
A. 105B. 1010C. 223D. 13
已知直线l：3x-y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 过(23,2)与直线l平行的直线方程是3x-y-4=0
B. 若直线m：x-3y+1=0，则l⊥m
C. 点(3,0)到直线l的距离是1
D.直线l的倾斜角是π6
已知圆的方程为x2+y2-2x=0，M(x,y)为圆上任意一点，则y-2x-1的取值范围是 ．( )
A. -3,3B. [-1,1]
C.[1,+∞)∪(-∞,-1]D. (-∞,-3]∪[3,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
已知空间向量a=(-2,-1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是( )
A. a→⊥(5a→+6b→) B. 5|a|=3|b|
C. (2a+b)//a D. a在b上的投影向量为(-310,-25,-12)
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A. (x-2)2+(y-1)2的最大值为9． B. 圆关于直线y=-2x对称
C. F=4D. 圆与y轴相切
如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
k3C. α1<α3<α2 D. α3<α2<α1
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A-2,0、B4,0，点P满足PAPB=12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
C的方程为x+42+y2=16
B. 在C上存在点D，使得AD=1
C. 在C上存在点M，使M在直线x+y-2=0上
D. 在C上存在点N，使得NO2+NA2=4
填空题（每小题5分，共4小题20分）
设直线x+my+3-2m=0在y轴上的截距是-2，则m= ．
如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3,1)，则AC1的坐标是
直线mx+(m+2)y-1=0与直线(m-1)x+my=0互相垂直，则m+1= ．
已知空间四个点A(1,1,1)，B(-4,0,2)，C(-3,-1,0)，D(-1,0,4)，点D到平面ABC的距离是________．
四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.分)
已知直线l的方程为2x-y+1=0
(1)求过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1方程；
(2)求与直线l平行，且到点P(3,0)的距离为5的直线l2的方程．
(本小题12.分)
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120∘
求AC1； (2)求AA1⋅BD．
(本小题12.分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．
(1)求BC； (2)求二面角A-PM-B的正弦值．
(本小题12分)
已知圆心为C的圆经过点A(1,0)和B(-1,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)若线段PQ的端点Q的坐标是(4,3)，端点P在圆C上运动，求PQ的中点M的轨迹方程．
(本小题12.分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(Ⅰ) 求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(Ⅱ)若二面角E-BD-F的余弦值为13，求线段CF的长．
(本小题12.分)
已知圆M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)过点T(-3,-3)，圆M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C，设P点为T点关于x+y+2=0的对称点．
求圆C的方程； (2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ⋅MQ的最小值；
答案和解析
1~8 BDBCBDAC 9. ABD 10.ABC 11.BD 12.AD
12.解：设P(x,y)，由A(-2,0)，B(4,0)，|PA||PB|=12，
可得 (x-4)2+y2 =2(x+2)2+y2， 两边平方整理可得x2+y2+8x=0， 即(x+4)2+y2=16，
故曲线C的方程为(x+4)2+y2=16，故A正确；
曲线C的方程表示圆心为C(-4,0)，半径为r=4的圆， 所以AC=2，所以圆C上的点到A点的距离最小值为r-AC=4-2=2，
最大值为r+AC=4+2=6，所以圆C上的点到A点的距离范围为[2,6]， 而1∉[2,6]，故B错误；
圆心C到直线x+y-2=0的距离为-4+0-21+1=32>r=4，所以直线x+y-2=0与圆C相离，
所以在C上不存在点M，使M在直线x+y-2=0上，故C错误；
设N(x,y),由|NO|2+|NA|2=4， 可得x2+y2+(x+2)2+y2=4,整理可得x2+y2+2x=0，联立x2+y2+8x=0，
解得x=0，y=0，故D正确．
34 14. (-4,3,1) 15. 1或12 16. 142
17.解：(1)设与直线l：2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，
把点A(3,2)代入可得，3+2×2+m=0，解得m=-7．∴过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y-7=0；
(2)设与直线l：2x-y+1=0平行的直线l2的方程为：2x-y+c=0，
∵点P(3,0)到直线l2的距离为5． ∴|2×3+c|22+12=5， 解得c=-1或-11．∴直线l2方程为：2x-y-1=0或2x-y-11=0．
18.解：(Ⅰ)AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a→+b→+c→，
∵AB⋅AD=a→·b→=0，AB⋅AA1=a→·c→=1×2×(-12)=-1， AD⋅AA1=b→·c→=1×2×(-12)=-1，
∴ |AC1|2=(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2 +2(a→⋅b→+a→⋅c→+b→⋅c→) =1+1+4+2(0-1-1)=2， 即有|AC1|=2；
(Ⅱ)AA1⋅BD=AA1⋅AD-AB=c→·b→-a→=c→·b→-c→·a→=-1-(-1)=0．
19.解：(1)连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，所以AM⊥平面PBD，
又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD， 所以∠ADB+∠DAM=90°，又∠DAM+∠MAB=90°， 则有∠ADB=∠MAB，
所以Rt△DAB∽Rt△ABM，则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；(注：建系，用向量PB与向量AM的数量积直接可以得出BC的长度)
(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(2,0,0)，B(2,1,0)，M(22,1,0)，P(0,0,1)，所以AP=(-2,0,1)，AM=(-22,1,0)，BM=(-22,0,0)，
BP=(-2,-1,1)，设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即-2x+z=0-22x+y=0，令x=2，则y=1，z=2，故n=(2,1,2)，
设平面BMP的法向量为m=(p,q,r)，则有m⋅BM=0m⋅BP=0，即-22p=0-2p-q+r=0，令q=1，则r=1，p=0，故m=(0,1,1)，
所以|cs|=|n⋅m||n||m|=37×2=31414，
设二面角A-PM-B的平面角为α，则sinα=1-cs2α=1-cs2=1-(31414)2=7014，所以二面角A-PM-B的正弦值为7014．
20.解：(1)设圆心的坐标为(t,t+1)，则有(t-1)2+(t+1)2=(t+1)2+(t+3)2，
整理求得t=-1，故圆心为(-1,0)，r2=(t-1)2+(t+1)2=4， 则圆的方程为(x+1)2+y2=4．
(2)设线段PQ中点M(x,y)，P(x1,y1)， 由题意知：x1=2x-4，y1=2y-3，
∵点P在圆(x+1)2+y2=4上运动，∴(2x-4+1)2+(2y-3)2=4， ∴M的轨迹方程为(x-1.5)2+(y-1.5)2=1．
21.(Ⅰ)解：依题意，BD=(-1,1,0)，BE=(-1,0,2)，CE=(-1,-2,2)．
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，则n·BD=-x+y=0n·BE=-x+2z=0, 令z=1，得n=(2,2,1)．
∴cs=CE⋅n|CE|⋅|n|=-49． ∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49；
(Ⅱ)解：设m=x1,y1,z1为平面BDF的法向量，则m·BD=-x1+y1=0m·BF=2y1+hz1=0, 取y1=1，可得m=(1,1,-2h)，
由题意，|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|4-2h|3×2+4h2=13， 解得h=87． ∴线段CF的长为87．
22.解：(1)圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心M-2,-2，由圆M过点T-3,-3，所以r2=(-1+2)2+(-1+2)2=2，所以r=2， 设M关于直线x+y+2=0对称的点Ca,b，则
a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1,解得a=0,b=0, 所以故圆C的方程为x2+y2=2．
(2)设Px,y，则y+3x+3=1x-32+y-32+2=0，解得x=1y=1，所以P1,1，设Q(x,y)，则x2+y2=2，PQ=(x-1,y-1)，MQ=(x+2,y+2)， 所以PQ⋅MQ=x2+y2+x+y-4=x+y-2． 因为x2+y2=2， 所以可设x=2csθ，y=2sinθ，
则x+y-2=2sinθ+π4-2， 所以x+y-2的最小值为-4， 即PQ⋅MQ的最小值为-4．
（注：此题第二问求x+y-2的最值时用参数方程解决只是其中一种办法，这道题主要是想考察2.41大本练习册例二的变式探究二这个题型学生掌握的情况，处理办法和此变式一样。）