吉林省白城市通榆县第一中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

这是一份吉林省白城市通榆县第一中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，设某批产品的产量为，定义“等方差数列”等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、数列、统计、计数原理、随机变量及分布．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．某学校共1200人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为（ ）
A．240人B．210人C．180人D．150人
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
6．设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件），若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入总成本）最大时的产量为（ ）
A．7万件B．8万件C．9万件D．10万件
7．定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为3，，则数列的前33项的和为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．里、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（ ）
A．甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等
B．甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等
C．甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大
D．乙旅游景区日均气温的极差为
10．已知实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知为定义在R上的偶函数且不是常函数，，，若是奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称B．
C．是奇函数D．与关于原点对称
12．已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．是递增数列
C．D．，，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则______．
14．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有______种．
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数．当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是______．
16．已知函数若，，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式：
（2）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了、两个参加国内学科竞赛的中学，从、两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：
（1）依据的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
（2）用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，记所选的3人中有人来自中学，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
19．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列的前项和为，且（且）．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且．
（1）求，的解析式；
（2）若函数在R上只有一个零点，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某公司进行趣昧投篮比赛，设置了，两种投篮方案．方案：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分．甲、乙两位员工参加比赛，选择方案投中的概率都为，选择方案投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．
（1）若甲选择方案投篮，乙选择方案投篮，记他们的得分之和为，，求的分布列；
（2）若甲、乙两位员工都选择方案或都选择方案投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？
22．（本小题满分12分）
已知函数，
（1）若的导函数为，讨论的单调性；
（2）若恰有三个不同的极值点，，，且．
①求的取值范围；
②证明：．
19．（本小题满分12分）
已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求与的解析式；
（2）令，求方程在区间内的所有实数解的和．
通榆一中2024届高三上学期期中考试·数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1．A 由可得，所以．故选A．
2．D 存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题，的否定是，．故选D．
3．C 由已知可得，，所以．又，根据正态分布的对称性可得，所以．估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为（人）．故选C．
4．B 由，解得，故“”是“”的必要不充分条件．故选B．
5．C 对于A，的定义域定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，，定义域为，，所以为奇函数，不符合题意；对于C，，所以，所以为偶函数，又，，令，则，所以在上单调递增，所以，即，故函数在上单调递增，符合题意；对于D，，，函数是偶函数，易得在上单调递减，不符合题意．故选C．
6．B 总利润，当且仅当，即时，最大．故选B．
7．B 因为数列是等方差数列，且公方差为3，所以，又，所以，又数列的各项均为正数，所以，所以，所以．故选B．
8．D 的定义域为，所以，因为，所以点处的切线斜率为，点处的切线斜率为．又因为两条切线与直线平行，所以即所以是关于的方程的两个根，所以，即，又，，可得，所以，由可得，即，所以的取值范围是．故选D．
9．ABC 对于A，B项，甲旅游景区的日均气温分别为，，，，，，；乙旅游景区的日均气温分别为，，，，，，．因为甲旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，乙旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，故A，B正确；对于C项，根据折线图知甲旅游景区的日均气温波动比乙旅游景区的日均气温波动大，故C正确；对于D项，因为乙旅游景区日均气温的极差为，故D错误．故选ABC．
10．ABC 由知，，，所以，即，所以，故A，B均正确；，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，故C正确；由，得，，所以，故D错误．故选ABC．
11．ABC 由题意，得，即，整理，得，所以的图象关于对称，故A正确；又为偶函数，则，所以，，所以，故B正确；，故C正确；因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误．故选ABC．
12．ACD 由已知，数列满足，，且，所以，所以，由，有，，故与同号，因为，则，，…，以此类推可知，对任意的，，故A正确；因为，所以，又，所以，所以是递减数列，故B错误；因为，所以，，…，，累加得，故C正确；因为，又，，所以，所以，所以，所以当，时，，所以当，时，，所以，故D正确．故选ACD．
13． 由函数是定义域为R的奇函数，得．当时，，可得，所以，．
14．84 若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．综上，有种不同的排法．
15． 设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，代入可得，．
16． 依题意，，，可得，，函数恰有三个不同的零点，即恰有三个解，转化为函数与图象有三个交点，函数的图象如图所示．结合图象，，解得，即实数的取值范围为．
17．解：（1）设数列的公比为，由，所以，所以，
又，所以．
由，得，所以．
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以．
18．解：（1）补全列联表如下：
零假设为：获得区前三名及以上名次与所在学校无关．
所以，
故依据的独立性检验，没有充分的证明推断不成立，所以认为成立，即获得区前三名及以上名次与所在的学校无关．
（2）由题意知，用分层随机抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，来自中学的有3人，
故的可能取值有0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
所以．
19．解：（1）由图可知，函数的最小正周期为，所以，
因为，可得，
因为，则，所以，解得，
所以的解析式为．
由题可知．
（2）因为
，
由，可得，所以或，
解得或，
又，故，
故所求的实数解的和为．
20．解：（1）因为，①
所以，
又因为函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，
所以，②
由①②得，．
（2）由
，
得，化简得，
令，则，即关于的方程（*）只有一个大于0的根．
①当时，，满足条件；
②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，所以，
③当方程（*）有两个相等的正根时，
则，解得或（舍），
当时，，满足条件．
综上所述，或，即的取值范围为．
21．解：（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，
于是得，解得，
的所有可能值为0，2，3，5，
，，，，
所以的分布列为：
（2）设甲、乙都选择方案投篮，投中次数为，都选择方案投篮，投中次数为，
则两人都选择方案投篮得分和的均值为，都选择方案投篮得分和的均值为，
有，，则，，
若，即，解得，若，即，解得；
若，即，解得．
所以当时，甲、乙两位同学都选择方案投篮，得分之和的均值较大；
当时，甲、乙两位同学都选择方案或都选择方案投篮，得分之和的均值相等；
当时，甲、乙两位同学都选择方案投篮，得分之和的均值较大．
22．解：（1）由题意知，所以．
当时，，故在上单调递增；
当时，令，解得或，
记，，则，的变化情况如下表：
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）①由题意及（1）知函数恰有三个零点，，，且．
由（1）知当时，在上单调递增，不合题意．
当时，，所以，因此，又在上单调递减，且，所以，．
又，，由于，且，
故，
．
因此在上恰有一个零点（即在上恰有一个零点），在上恰有一个零点（即），在上恰有一个零点（即在上恰有一个零点）．
所以的取值范围是．
②证明：由①可知，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，故只需证明．
因为，故，由此可得．
由，所以，
故，
所以．
令，，则．
令，则．
令，则，所以在上单调递减，故，可得在上单调递增，故，所以，因此．
未获得区前三名及以上名次
获得区前三名及以上名次
中学
11
6
中学
34
9
未获得区前三名及以上名次
获得区前三名及以上名次
总计
中学
11
6
17
中学
34
9
43
总计
45
15
60
0
1
2
0
2
3
5
0
0
极大值
极小值