2022-2023学年吉林省辽源市第五中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省辽源市第五中学校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．数列，…的一个通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将每项的绝对值写成以为底的幂的形式，再结合负号出现的规律即可得答案.

【详解】解：因为，，，

所以此数列的一个通项公式可以是.

故选：D.

2．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将曲线方程化为标准形式，结合定义即可求解.

【详解】将抛物线方程化为标准形式：，由抛物线定义知焦点坐标.

故选：B.

3．已知数列是等比数列，且，，成等差数列，则公比（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式可求出结果.

【详解】因为，，成等差数列，

所以，

所以，

所以，所以，所以.

故选：C

4．圆  被轴所截得的弦长为（    ）

A．  B．  C．4 D．

【答案】D

【分析】根据圆的弦长公式即可求解.

【详解】的圆心和半径分别为， ，

因此圆被轴所截得的弦长为 ，

故选：D

5．的展开式中常数项为（    ）

A．-160 B．60 C．240 D．-192

【答案】B

【分析】由题意可得要得的展开式中常数，只需求出的展式中项，根据二项定理求出出的展式中项即可得答案.

【详解】解：因为的展式为:，

要得的展开式中常数，只需求出的展式中项即可.

所以令，

解得，

所以的展式中项的系数为，

所以的展开式中常数项为60.

故选：B.

6．本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有种

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；

第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；

∴

故选：A.

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件结合双曲线定义可得，，结合三角函数定义列关于的不等式，由此可求离心率的范围.

【详解】∵，

∴是以为底的等腰三角形，，

过作交于，则，

所以，

∵，∴，

∴，

即，解得．

∴该椭圆的离心率的取值范围是．

故选：D．

8．已知双曲线上的点A，B关于原点对称，若双曲线上的点P(异于点A，B)使得直线，的斜率满足，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用代入法，结合直线斜率公式、点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】由题意设P(x，y)，，，则，，

即，，∵，

∴，

解得，又双曲线的焦点(c，0)到渐近线的距离为：，

故选：B

二、多选题

9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（    ）

A．总其有36种安排方法

B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法

C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法

D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法

【答案】AD

【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，即可判断C；将甲､乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.

【详解】解：对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，

有种安排方法，故A正确；

对于B，若实验室只安排甲1人，则有种安排方法，

若实验室安排2人，则有种安排方法，

所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；

对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，

则有种安排方法，故C错误；

对于D，若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有种安排方法，故D正确.

故选：AD.

10．下述四个结论正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是

B．若直线过圆的圆心，则

C．直线过定点

D．直线是圆的一条切线

【答案】BCD

【分析】根据直线方程求出斜率可得倾斜角判断A，圆心代入直线方程可判断B，根据直线系求出定点可判断C，由圆心到直线的距离判断D.

【详解】因为直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故A错误；

因为圆的圆心为，代入直线的方程可得，故B正确；

因为直线，由解得，可知直线过定点，故C正确；

因为圆心，半径，且圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，故D正确.

故选：BCD

11．设椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为4，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，的周长的最大值为12．过点的直线交椭圆于C，D两点，且C，D关于点M对称，则下列结论正确的有（    ）

A．椭圆的方程为

B．椭圆的焦距为

C．椭圆上存在4个点Q，使得

D．直线CD的方程为

【答案】ACD

【分析】由椭圆定义，利用直角三角形直角边和斜边关系，知AB过点时周长最大为求出，再由短轴得出，可求得椭圆方程，知A正确，由的值可确定焦距，知B错误，由知在以线段为直径的圆上，由知C正确，利用点差法可求得直线方程，知D正确.

【详解】对于A，由题意知，当过点时，等号成立，

所以，故当过右焦点时，的周长取最大值，所以，又，所以椭圆的方程为，A正确；

对于B，由A知，所以，即焦距为，B错误；

对于C，由知，在以线段为直径的圆上，

由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，即椭圆上存在个点，使得，C正确；

对于D，由题意知点为弦的中点，在椭圆内部，

设，，则，，

两式相减得：．

，，则，，

直线的方程为：，即，D正确.

故选：ACD.

12．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（　　）

A．数列为等比数列

B．数列的通项公式为

C．数列为等比数列

D．数列的前n项和为

【答案】AD

【分析】由条件找到可判断A正确，由A可求得的通项公式，利用分组求和可得D正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD错误.

【详解】

又

数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确.

又

所以数列的前和为，故选项D正确.

又因为，

当，

当，，

故选项B错误.

所以数列不是等比数列.故选项C错误.

综上，故选：A D

三、填空题

13．双曲线的焦距是________.

【答案】20.

【解析】先由双曲线方程是，得到，再用求解.

【详解】因为双曲线方程是

所以

所以，

所以该双曲线的焦距是.

故答案为：20

【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）

【答案】抛物线

【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解.

【详解】由，得，

所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等，

又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.

故答案为：抛物线.

15．分配5名水暖工去4个不同的居民家里检查暖气管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有_______种（用数字作答）．

【答案】240

【分析】先对5人分成4组，再进行全排列，即可得到答案．

【详解】由题意，把5名水暖工分4组共有种，然后分配到4个不同的家庭，有种，

由分步计数原理可得，不同的分配方案共有种，

故答案为240．

【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中先将5分分成四组，然后全排列是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

16．等差数列的前项和为，若，，则当_____时，最大.

【答案】8

【分析】由结合等差数列的前项公式结合条件即得．

【详解】∵，

∴，，

∴，，

∴，，

∴当时，最大．

故答案为：8.

四、解答题

17．已知在的展开式中，前项的系数分别为、、，且满足，求：

(1)展开式中二项式系数最大项的项；

(2)展开式中所有有理项．

【答案】(1)

(2)和

【分析】（1）求出、、的表达式，根据结合可求得的值，利用二项式系数的性质以及二项展开式通项可求得所求项；

（2）写出展开式通项，即可求得展开式中的有理项.

【详解】（1）解：的展开式通项为，，

则，，，

因为，可得，整理可得，

由题意可知，故，

因此，展开式中二项式系数最大项的项为.

（2）解：展开式通项为，,因为为整数，所以,

故展开式中的有理项为，.

18．已知圆过点，且与圆相切于原点，直线．

（1）求圆的方程；

（2）求直线被圆截得的弦长最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设，根据题意列方程组解得即可得解；

（2）求出直线所经过的定点，再根据圆心到直线的距离的最大值可求得结果.

【详解】（1）设，圆的圆心，半径为，

则，解得，

所以圆的方程为.

（2）因为，即，

由得，所以直线过定点，

设圆心到直线的距离为，则，当且仅当时，等号成立，

所以弦长.

所以直线被圆截得的弦长的最小值为.

【点睛】关键点点睛：第二问利用圆心到直线的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键.

19．设数列的前项和为，，．

(1)求；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据与的关系推导出数列为等比数列即可求解；

（2）根据错位相减法求和可.

【详解】（1）当时，，即，

当时，由可得，

两式相减得：，即，

又，

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以

（2）由（1）知，，

所以，

，

，

两式相减得：

所以

20．记为数列的前项和，已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若，记，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用可整理得到，由此可得结论；

（2）结合等差数列通项公式可求得，采用裂项相消法可求得.

【详解】（1）当且时，，

，

整理可得：，，

数列是公差为的等差数列.

（2）由（1）得：，

，

.

21．已知点在抛物线上，直线与交于两点，为坐标原点，且．

(1)求抛物线的焦点到准线的距离；

(2)求面积的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将点代入，直接求解；（2）利用“设而不求法”表示出，得到，表示出的面积，进而求出最小值.

【详解】（1）将点代入方程，解得：.

所以抛物线的焦点到准线的距离为；

（2）设，，直线的方程为，联立，消去y，整理得，所以.

因为，所以，即，即

代入可得：，即或（不符合题意，舍去）.

所以

所以当时，面积有最小值．

22．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆的左焦点，且的面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的动直线交椭圆于、两点(点在轴上方)，、分别为直线、与轴的交点，证明：为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析﹒

【分析】(1)根据椭圆离心率列出用c表示a、b，根据即可求出c，从而求出a、b和椭圆的方程；

(2)设方程为，，，联立直线l方程和椭圆方程得根与系数关系，求出M和N的坐标，代入化简即可得结论．

【详解】（1）

由椭圆的离心率为，得，于是，

∴，，

因此，，，

∴椭圆的方程为；

（2）易知，直线(EF)斜率不为0，设方程为，

由得，

设，，则，，

则．

由直线方程，得；

由直线方程，得；

由此可得，

．

∴为定值．