吉林省白城市通榆县第一中学校2024届高三上册第五次质量检测数学试题（含解析）

这是一份吉林省白城市通榆县第一中学校2024届高三上册第五次质量检测数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了本卷命题范围，若，则，已知圆O等内容，欢迎下载使用。

数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、复数、向量、数列、立体几何、直线与圆、概率与统计.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．12B．C．13D．
4．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则
5．已知数据，，…，的极差为8，方差为6，则数据，，…，的极差和方差分别为（ ）
A．24，19B．25，19
C．24，54D．25，54
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时， （ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知函数的图象在原点处的切线方程为，则的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组（成绩均在内），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为0.035
B．估计这100名学生成绩的众数是75
C．估计这100名学生成绩的平均数为78
D．估计这100名学生成绩的中位数为
10．已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AB的垂直平分线所在的直线方程为
B．直线AB的方程为
C．
D．若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为
11．已知正方体的棱长为4，点E，F，G，M分别是，，，的中点．则下列说法正确的是（ ）
A．直线，是异面直线
B．直线与平面所成角的正切值为
C．平面截正方体所得截面的面积为18
D．三棱锥的体积为
12．已知函数且，则（ ）
A．当时，的最大值为
B．函数恒有1个极值点
C．若曲线有两条过原点的切线，则
D．若有两个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知非零向量的夹角为，则 ．
14．已知数列满足，，，则数列的前12项和为 ．
15．已知，则的最小值为 .
16．已知正方体的棱长为2，M为空间中任意一点，且，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)解方程.
18．已知．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
19．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每年灭绝一种，兽类平均每年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取名进行调查，得到统计数据如下表：
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次.记被抽取的人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
20．如图，在平面四边形中，．

(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
21．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，，点F在棱PA上．
(1)试判断CE与PB是否平行，并说明理由；
(2)若点F到平面PCE的距离为1，求线段AF的长．
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.
【解答】由，即，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：C
2．B
【分析】由复数的除法运算及共轭复数的定义判定即可.
【解答】由，得，所以.
故选:B.
3．C
【分析】根据为上的奇函数，求出.
【解答】因为为上的奇函数，所以，，
所以.
故选：C
4．C
【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.
【解答】若，，，则与有可能平行，故A错误；
若，，则可能在内，故B错误；
若，，则，又，则，故C正确；
若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误.
故选：C.
5．C
【分析】设，则，再根据极差与方差的公式推导即可.
【解答】不妨设，则，且，
所以，所以数据，，…，的极差为24．
设，，…，的平均数为，所以．
又数据，，…，的平均数为
，
所以数据，，…，的方差为
．
故选：C．
6．D
【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.
【解答】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
7．A
【分析】根据题意求得，得到矩形的周长为，结合基本不等式，即可求解.
【解答】由题意知，且，所以，
则该矩形的周长为
，当且仅当，即时，取得等号，
此时.
故选：A.
8．C
【分析】因为函数在原点处的切线方程为，可将求导，则，从而可以求出值；可通过的导数求出函数单调性，从而求函数的零点个数.
【解答】，，
因为在原点处的切线方程为，，，
，
令，
，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
而，
又时，，同时，
所以在和上各有1个零点，所以的零点个数为个2.
故选：C
9．ABD
【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据中位数的求法判断D.
【解答】由题意知，解得，故A正确；
估计这100名学生成绩的众数是，故B正确；
估计这100名学生成绩的平均数为，故C错误；
设这100名学生成绩的中位数为m，所以，，解得，故D正确．
故选：ABD．
10．ABD
【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D.
【解答】由圆C：知圆心为，
所以直线OC的方程为，即，
所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确；
因为圆O：与圆C：，两圆方程作差，
可得直线AB的方程为，故B正确；
点O到直线AB的距离，所以，故C错误；
点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【分析】利用图形，作出合理辅助线，根据异面直线的判定方法即可判断A，利用线面角定义即可判断B，作出截面为等腰梯形计算即可判断C，利用顶点转换法结合三棱锥体积公式即可判断D.
【解答】对A，如图1，取的中点P，连接，
因为，
所以，，所以四边形是平行四边形，所以，
又，所以直线，是异面直线，故A正确；
对B，如图2，取的中点Q，连接，，则，因为平面，
所以平面，所以是直线与平面所成角，
，，所以，
即直线与平面所成角的正切值为，故B错误；
对C，如图3，延长，交于点H，连接交于点N，连接，，
因为，M为的中点，则，所以B为的中点，
因为，，所以易知N为的中点，则，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，
在等腰梯形中，，，，
则，则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，故C正确；
如图4，连接，，则，因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又M为的中点，所以三棱锥的高为，
因为面，面，所以，
，所以，
故D正确．
故选：ACD．

12．ACD
【分析】利用导数判断单调性、求最大值可判断A；利用导数判断的单调性，根据极值点的定义可判断B；先求点的切线方程，从切线方程得出a与的等式，再构造方程讨论单调性，求极值，最后利用函数图像与直线有两个不同的交点可判断C；把有两个零点转化为方程有两个解，再设及讨论它的单调性，求极值，最后结合题意可判断D．
【解答】易知的定义域为.
当时，由，得当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故A正确；
，当时，，又，故，此时在定义域上单调递减，无极值，故B错误；
设切点为，则，所以曲线在处的切线方程为，将原点代入切线方程，得，所以，即，显然，所以，设且，则，易得当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，且的极大值为，且.由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，则，所以，所以，故C正确；
要使有两个零点，则方程有两个解，即方程有两个解，所以方程有两个解，设，则，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且的极大值为，又，当时，，当时，，所以要使函数的图象与直线有两个公共点，必有，解得，故D正确.
故选：ACD.
13．12
【分析】将向量垂直转换为数量积为0，由数量积的计算公式结合已知条件即可求解.
【解答】由题意非零向量的夹角为，
所以，化简得，
由数量积公式得，解得.
故答案为：12.
14．114
【分析】根据递推关系，可以得到奇数项和偶数项分别成等差和等比数列，进而分组求和即可.
【解答】因为数列满足，，，
所以，当且为奇数时，由，即可知是首项，公差为3的等差数列；
当且为偶数时，由，即可知是首项，公比为2的等比数列.
故的前12项和为
.
故答案为：114.
15．
【分析】根据题意，结合基本不等式得到，再结合，即可求解.
【解答】由，可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
又由，当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当时，取得最小值.
故答案为：.
16．
【分析】根据椭圆的定义确定点轨迹，三棱锥体积最大转化为在底面的垂面且垂直交线，据此确定点位置，再由外接球的性质求出球心位置并得出球半径即可.
【解答】如图，
因为，所以在一个平面内，点M的轨迹是以A，D为焦点的椭圆．
又因为，所以该椭圆的长轴长为4，短轴长为，故点M的轨迹是以A，D为焦点的椭球表面．
设AD的中点为L，要使三棱锥的体积最大，即到平面ABD的距离最大，
所以当平面，且平面ABD时，三棱锥A-MBD的体积最大．
此时由椭圆短半轴长知，且△MAD为等边三角形，
设其中心为S，三棱锥A-MBD的外接球的球心为O，△ABD的外心为K，连接OK，OB，OS，
则，，
所以球半径，
此时三棱锥A-MBD外接球的表面积．
故答案为：
17．(1)或
(2)或.
【分析】（1）根据等差数列定义，由等比数列性质构造方程可解得公差或，即可求得通项公式；
（2）利用等差数列前项和公式可得，构造方程即可解得或.
【解答】（1）设的公差为，因为成等比数列，
所以，即
又，即，解得或.
当时，；
当时，.
所以数列的通项公式为或；
（2）当时，，
由，得，
化简得，解得或；
当时，，
由，得，
化简得，解得或.
综上，或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意化简可得，再根据同角三角函数的关系求解即可；
（2）先求得，再根据正切函数值分析可得，进而可得.
【解答】（1）因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
．
（2）由，可得，
则，
因为，所以，又，则，
因为，又，则，
所以，所以．
19．(1)有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【解答】（1）零假设为保护动物意识的强弱与性别无关联.
由题意，，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关联.
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到人，
抽中“保护动物意识强”的女性市民的概率为，
所以的所有可能取值为、、、、，由题意可知，，
，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）在中，应用正弦定理求得，进而可得，进而有，在应用正弦定理求；
（2）由及，再结合正弦定理求.
【解答】（1）在中，
整理得，
所以，故，
又，
在中，又，
所以，故.
（2）由，
由，
而，故，故，
所以，
所以，即，
则，
在中，则.
21．(1)CE与PB不平行，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，结合空间向量共线向量的性质进行判断即可；
（2）根据空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【解答】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，又因为四边形ABCD是矩形，，
所以AD，AB，AP两两垂直．
以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则，，，．
CE与PB不平行，理由如下：
易得，．
若与平行，则有不存在，
所以与不平行，即CE与PB不平行；
（2）易得，，
设平面PEC的一个法向量为，则，
取，可得．
设，则，，所以，
因为点F到平面PCE的距离，
且，解得（舍去），故．
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与即可得解；
（2）构造函数，利用导数得到的单调性，从而分类讨论与，结合的特性进行分析即可得解.
【解答】（1）因为，所以，
当时，，即，所以在上单调递增；
当时，令，得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减；在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；在上单调递增.
（2）因为，
所以由，得在上恒成立，
令，则，，
令，则，
因为，则，，，则，
所以，则在上恒成立，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，则，即，
所以在上单调递增，则，
则，故，
所以当时，，，
所以在上必存在，使得，
又在上单调递增，故当时，，
所以在上单调递减，而，不满足题意；
当时，，
所以在上单调递增，故，满足题意；
综上：，即的取值范围为.
【点评】关键点评：本题解决的关键在于利用导数求得当时，存在使得，从而排除的情况，由此得解.
保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
女性
合计