吉林省通榆县第一中学2024届高三上学期第四次质量检测数学试题

这是一份吉林省通榆县第一中学2024届高三上学期第四次质量检测数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，若，则，在中，，则的最小值为，若实数满足，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围（不含立体几何､圆锥曲线）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足为纯虚数，则（ ）
A.-3 B. C. D.3
3.已知为实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若角的终边上有一点，且，则（ ）
A.4 B.±4 C.-1 D.±1
5.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，型直升机所受的大气压强是型直升机所受的大气压强的（ ）（精确到0.01）
倍 倍 倍 倍
6.若，则（ ）
A. B.
C. D.
7.在中，，则的最小值为（ ）
A.4 B. C.16 D.
8.已知函数的图象在原点处的切线方程为，则的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数是定义在上的奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为4
B.的图像关于直线对称
C.的图像关于点对称
D.在内至少有5个零点
11.如图，圆的半径等于2，弦平行于轴，圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点.如果直线与这两段弧只有两个交点，则的取值可能是（ ）
A. B.0 C. D.2
12.“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则的最后一个数字为6
D.若，则从开始出现数字4
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量满足，则的夹角为__________.
14.的展开式中含的项的系数为__________.
15.设，则__________.
16.设函数若，则不等式的解集是__________；若函数恰好有两个零点，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的面积.
18.（本小题满分12分）
甲､乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解这两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩（都在内），并作出了频数分布统计表如下：
（1）计算的值并估计乙校抽取的学生数学成绩的平均数；
（2）若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断这两所学校的数学成绩是否有差异？
附：，其中.
19.（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
20.（本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
21.（本小题满分12分）
科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理､化学､生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）设随机变量X表示甲队的总得分，求X的分布列和数学期望；
（2）求甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
通榆一中2024届高三上学期第四次质量检测•数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 因为，所以.故选A.
2.A 是纯虚数，所以所以.故选.
3.B .由可以推出，但推不出，故“1”是“”的必要不充分条件.故选B.
4.C 由已知，得，解得.故选C.
5.B 依题意，，即，则型直升机所受的大气压强型直升机所受的大气压强，所以型直升机所受的大气压强是型直升机所受的大气压强的0.92倍.故选B.
6.B 在同一直角坐标系中作出的图象，
由图象可知.故选B.
7.D 因为，设，则，显然，即，所以
，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选D.
8.C ，因为切点坐标为，且切线方程的斜率等于切点处导函数值，所以，解得，所以，所以，当时，，单调递减；当时，单调递增，所以，又时，，所以在和上各有1个零点，所以的零点个数为2.故选C.
9.BD 当时，，故A错误；因为，所以，故B正确；当时，，故C错误；因为，当时，；当时，，所以，故D正确.故选BD.
10.BCD 对于，因为是定义在上的奇函数，且，所以，即，所以的周期为4，但的最小正周期不一定为4，如，满足为奇函数，且，而的最小正周期为，故错误；
对于，因为为奇函数，且，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；
对于，由，及为奇函数可知，即的图象关于点对称，故C正确；
对于，因为是定义在上的奇函数，所以，由题意，易知，在内至少有这5个零点，故D正确.故选BCD.
11.BD 因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，
所以，如图所示，当直线过时，，
当直线过时，，因为圆弧对应的圆方程为，
当直线与圆弧相切时，由，解得（舍），
当直线与圆弧相切时，由，解得（舍），当或时，直线与两段弧有两个交点.故选BD.
12.AC 对于项，，即“2个2”，，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故A项正确；
对于B项，，即“1个1，1个3”，，即“3个1，1个3”，故，即“1个3，2个1，1个3”，故，故B项错误；
对于C项，，即“1个6”，，即“1个1，1个6”，，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，因为，则，若数列中，中为第一次出现数字4，则中必出现了4个连续的相同数字，如，则在的描述中必包含“1个1，1个1”，即，显然的描述应该是“2个1”，矛盾，不合乎题意，若或，同理可知均不合乎题意，故不包含数字4，故D项错误.故选AC.
13. 因为，所以，解得，所以又，所以向量的夹角为.
14.960 的展开式的通项为，故令，可得的展开式中含的项的系数为.
15. 因为，所以，所以.
16.（2分）（3分）
当时，令，且，解得或0，令且，解得，所以的解集为.
令，解得或，令，解得，如图所示，当时，恰有两个零点，符合题意；当时，恰有3个零点，不符题意；
当时，恰有2个零点，符合题意；当时，恰有1个零点，不符题意.所以的取值范围是.
17.解：（1）由题意得，
即，即，
所以.
（2）因为，由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，
所以，故，
所以，所以，
所以.
18.解：（1）甲校抽取人，乙校抽取人，故.
估计乙校抽取的学生数学成绩的平均数为.
（2）表格填写如图，
零假设为：这两所学校的数学成绩无差异.
根据列联表的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为这两所学校的数学成绩有差异，此推断犯错误的概率不大于0.10.
19.（1）解：设的公差为，因为成等比数列，所以，
即，因为，所以，
又，所以，
所以，
所以.
（2）证明：由（1）得，，
所以，
所以
，
又，所以.
20.解：（1）由题意，
因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，
又，所以，故.
令，得，
所以函数的递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
的两个根对应的点关于直线对称，即，
有，
在上有两个不同的根，所以；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
21.解：（1）的所有可能取值为，
所以，
，
的分布列为：
所以.
（2）记“甲队得0分，乙队得15分”为事件，“甲队得5分，乙队得10分”为事件，
所以，
，
所以，
即甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率为.
22.解：（1）的定义域为，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，所以恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）因为在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则，
令，则.
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
所以，即恒成立，所以在上单调递增，
所以在上，，即在上恒成立；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，，所以，即，
又，
所以时，，函数单调递减，
又，故时，，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.甲校
分组
频数
3
4
8
15
分组
频数
15
3
2
乙校
分组
频数
1
2
8
9
分组
频数
10
10
3
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
甲校
乙校
总计
优秀
15
20
35
非优秀
45
30
75
总计
60
50
110
0
5
10
15