吉林省白城市通榆县第一中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题

通榆一中2021级高二上学期期末考试

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．设x，，向量，，，且，，则（        ）

A．    B．     C．3     D．4

2．设，若直线：与直线：平行，则a的值为（        ）

A．－1     B．1     C．－2或－1    D．1或－2

3．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（        ）

A．5     B．3     C．     D．

4．若圆O：与圆C：关于直线l对称，则直线l的方程是（        ）

A．   B．    C．    D．

5．已知经过点的平面α的法向量为，则点到平面α的距离为（        ）

A．     B．2     C．    D．

6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（        ）

A．    B．   C．   D．

7．抛物线的焦点为F，点，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（        ）

A．10     B．11     C．12     D．

8．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（        ）

A．189     B．252     C．324     D．405

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9．下列结论中正确的有（        ）

A．过点且与直线平行的直线的方程为

B．过点且与直线垂直的直线的方程为

C．若直线：与直线：平行，则a的值为－1或3

D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

10．以下命题正确的是（        ）

A．直线l方向向量为，直线m方向向量，则l与m垂直：

B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则；

C．平面α，β的法向量分别为，，则

D．平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量．则

11．已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是（        ）

A．的最大值为      B．的最大值为

C．的最大值为        D．的最大值为

12．已知曲线C：，下列结论正确的是．（        ）

A．若曲线C表示椭圆，则且

B．若时，以为中点的弦AB所在的直线方程为

C．当时，，为曲线C的焦点，P为曲线上一点，且为直角三角形，则的面积等于4

D．若时，存在四条过的直线l与曲线C有且只有一个公共点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足三点均不共线，但四点共面，且，则             ．

14．直线与直线垂直，则实数a的值为             ．

15．抛物线的准线方程是             ．

16．已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为             ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题12.0分）

如图，棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．

18．（本小题12.0分）

已知椭圆C：的长轴长为8，短轴长为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过做弦且弦被P平分，求此弦所在直线的方程及弦长．

19．（本小题12.0分）

已知数列的前n项和为，满足

（1）求数列的通项公式：

（2）若，，设数列前n项和．求证：．

20．（本小题12.0分）

已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．

（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；

（Ⅱ）求圆C的标准方程；

（Ⅲ）过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程．

21．（本小题12.0分）

已知数列，，．

（1）求，，，并求出数列的通项公式；

（2）记为数列的前n项和，求．

22．（本小题12.0分）

已知椭圆和直线l：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

答案和解析

1．【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算以及模的计算，属于基础题．

先求出，，求出，再利用模的公式解决．

【解答】

解：由题意得，解得，

再由得解得，

故，

所以，

故选C．

2．【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查两直线平行的条件，属于基础题．

根据两直线平行，列式求解未知数的值．

【解答】

解：当时，易知直线，不平行，舍去；

当时，由直线：与直线：平行，

则，

解得：．

故选B．

3．【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的基本定理及应用和空间向量的数量积及运算律．

利用空间向量的基本定理和数量积计算得结论．

【解答】

解：在平行六面体中，，，，，，

∵，

∴

，

∴．

故选C．

4．【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查圆关于直线对称圆的问题，属于基础题．

方法一，由题意可知圆O和圆C是相交的，故直线l是两圆的公共弦所在直线，只需把两个圆的方程相减即可得到答案；

方法二，由于圆O和圆C关于直线l对称，故直线l为线段OC的垂直平分线，求出线段OC的中点坐标，线段OC的垂直平分线的斜率，利用点斜式求出l的方程．

【解答】

解：由题意，知圆C：，所以．

方法一：又，所以两圆的圆心距，故两圆相交．

因为圆O：与圆C：关于直线l对称，

所以直线l是两圆的公共弦所在直线，

把两圆的方程相减可得直线l的方程为．

故选A．

方法二：又，所以线段OC的中点坐标为．

又，所以，

所以直线l的方程为，即．

故选A．

5．【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于基础题．

利用空间向量求点与面之间的距离，计算得结论．

【解答】

解：∵点在α内，，

∴．

又∵平面α的法向量为．

∴点到平面α的距离．

故本题选D．

6．【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了双曲线的性质及几何意义，属于基础题．

由．即．结合，可得，即可得出双曲线的渐近线方程．

【解答】

解：双曲线的离心率为，可得，

即，由，可得，

渐近线方程为，即．

故选B．

7．【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时最小，是解题的关键．

求△MAF周长的最小值，即求的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时最小，由此即可求出的最小值．

【解答】

解：求△MAF周长的最小值，即求的最小值，

设点M在准线上的射影为D，

根据抛物线的定义，可知

因此，的最小值，即的最小值

根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时最小，

因此最小值为，

∵，

∴△MAF周长的最小值为11，

故选：B．

8．【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的应用，属于基础题．

求出，利用等差数列的通项公式求出首项和公差，利用等差数列的求和公式求出．

【解答】

解：设的公差为d，

由，得，

联立方程组，解得，

．

故选：C．

9．【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查两直线的平行和垂直的位置关系，直线的点斜式和截距式方程，属于中档题．

根据两直线的平行和垂直得到斜率关系，进而通过点斜式得到直线方程，并化为一般式，可判定A，B；根据直线：与直线：平行，求出a的值，可判定C；当截距都为0时，求得直线方程为，可判定D．

【解答】

解：

A．直线的斜率为2，

则过点且与直线平行的直线的方程为，

即，故A正确；

B．直线的斜率为2，

则过点且与直线垂直的直线的方程为，

即，故B正确；

C．直线：的斜率为，

因为直线与直线平行，则直线的斜率存在，且，

解得或3，

当时，两直线重合，当，两直线平行，故C错误；

D．因为过点，且在两坐标轴上的截距相等，

当截距都为0时，直线方程为，故D错误；

故选AB．

10．【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合题．

A．根据直线l、m的方向向量与垂直，得出；

B．根据直线l的方向向量与平面α的法向量n垂直，不能判断；

C．根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出；

D．求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出的值．

【解答】

解：∵，∴，∴直线l与m垂直，A正确；

∴，∴，∴或，B错误；

∵，∴，不共线，所以α与β不平行，故C错误；

∴，，向量是平面α的法向量，

∴，即，则，D正确．

故选AD．

11．【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，是中档题．

令，，，则三条直线都与该圆有公共点，根据点到直线的距离判断ACD，表示圆上的点到原点的距离的平方，由此判断B．

【解答】

解：实数x，y满足方程，即，

表示以为圆心，以为半径的圆；

令，，，则三条直线都与该圆有公共点，

所以，，，

解得，，，

所以的最大值为，的最大值为，的最大值为，

所以选项A正确，C、D错误；

原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，

所以，即，

所以的最大值为，B项正确．

故选CD．

12．【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查椭圆和双曲线的基本性质，直线与双曲线的位置关系，属于较难题．

利用椭圆和双曲线的基本性质，逐一判断即可．

【解答】

解：对于A，若曲线C表示椭圆，方程为，

即，则且，故A正确；

对于B，若时，椭圆方程为，

设以为中点的弦AB与椭圆的交点为A，B，

①设，，则，

①－②可得，

∵为弦AB的中点，

∴，，

故，即，

即弦AB所在的直线的斜率为，

故以点为中点的弦所在的直线方程为，

即，故B不正确；

对于C，当时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，其中，，，

当为直角三角形时，

（1）若，即时，

设，，

由题意可得，

解得，

∴的面积为，

（2）若或时，

以，且P在第一象限为例，设点，

代入曲线C：的方程得，

即，

故的面积为，故C错误；

对于D，若时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，

（1）直线过且与双曲线的两条渐近线平行时，直线l与曲线C有且只有一个公共点，此时直线l有两条：

（2）直线过且与双曲线相切时，直线l与曲线C有且只有一个公共点，此时直线l有两条；

故若时，存在四条过的直线l与曲线C有且只有一个公共点，

故D正确；

故选AD．

13．【答案】－1

【解析】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题．

利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．

解：∵，

∴，

∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面

∴

∴

故答案为：－1

14．【答案】2

【解析】

【分析】

本题主要考查两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系，属于基础题．

由题得，解之即得a的值．

【解答】

解：由题得，

所以．

故答案为2．

15．【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．

抛物线化为，即可得到抛物线的准线方程．

【解答】

解：抛物线，即，

故其准线方程是．

故答案为．

16．【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题．

利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可．

【解答】

解：F为双曲线C：的右焦点，

A为双曲线C的右顶点，B为双曲线C上的点，且BF垂直于x轴，

所以，

若AB的斜率为3，可得，

即，

代入上式化简可得，，

可得，，

解得．

故答案为：2．

17．【答案】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，

则、、．

在Rt△BAD中，，，

∴．

∴，，

∴，，

∵，，即，，

又因为，AP、平面PAC，

∴BD⊥平面PAC；

解：（2）由（1）得，．

设平面PCD的法向量为，

则，，

即，

∴，

故平面PCD的法向量可取为，

∵PA⊥平面ABCD，

∴为平面ABCD的一个法向量．

设平面PCD和平面ABCD夹角的大小为θ，依题意，θ为锐角，

可得．

【解析】本题考查线面垂直的判定定理的运用以及二面角的余弦值求法；考查利用空间向量解决空间角的问题．

（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线而垂直．

（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角．

18．【答案】解：

（1），

所以，，

椭圆标准方程为．

（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，

则，，

分别代入椭圆的方程，得到，，

两式相减得，

所以，

所以，

由直线的点斜式方程可知，

所求直线方程为，即．

由，解得，

所以．

即此弦所在直线的方程为，弦长为．

【解析】本题考查椭圆的性质，中点弦的应用，属于中档题．

（1）易得，解出即可求出椭圆方程；

（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，代入椭圆方程，作差即可求出AB的斜率，从而求出直线AB的方程，再根据弦长公式求弦长即可．

19．【答案】

（1）解：时，，，

， （1）

   （2）

（2）－（1）得，

∴，

∴数列是，的等比数列，

所以数列的通项公式为；

（2）证明：，

则

，

．

【解析】本题主要数列的递推公式，考查等比数列的判定和通项公式，考查裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．属于中档题．

（1）当时求出，当，可得，，两式相减可得，进而知数列是以，的等比数列，即可求出数列的通项公式；

（2）－（1）得，

（2）由（1）得到，而，利用裂项可求，即可求证．

20．【答案】解：

（Ⅰ）设AB的中点为D，则，

由圆的性质，得，

所以，，得．

所以线段AB的垂直平分线CD的方程是．

（Ⅱ）设圆C的标准方程为，其中，半径为．

由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得．

所以圆心，，

所以圆C的标准方程为；

（Ⅲ）由（Ⅰ）设F为MN中点，则，得．

圆心C到直线的距离．

当l的斜率不存在时，l：，此时，符合题意．

当l的斜率存在时，设l：，即，

由题意得，解得：．

故直线l的方程为，即．

综上直线l的方程或．

【解析】本题考查直线与圆的有关问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题．

圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系．

（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；

（Ⅱ）设圆C的标准方程为，结合第一问可得结果；

（Ⅲ）由题意可知：圆心C到直线的距离为1，分类讨论可得结果．

21．【答案】解：

（1）因为，，

所以，解得，，解得，，解得，

因为，所以，

又因为，所以，所以．

（2）由题意，

所以①，

②，

①－②得，

所以

【解析】本题考查数列的递推关系，等比数列的通项公式和求和公式，错位相减法求数列前n项和，属于基础题．

（1）根据数列的递推关系求得，，，由得，由此即可写出的通项公式；

（2）利用错位相减法即可求得数列的前n项和．

22．【答案】解：

（1）直线l方程为，

依题意可得：，又，

解得：，，

∴椭圆的方程为；

（2）假设存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E，

联立与椭圆方程得，

∴，

∴或，①

设，，

，②

而，

，，

要使以CD为直径的圆过点，

当且仅当，故，

则，

∴，③

将②代入③整理得，

经验证使得①成立，

综上可知，存在使得以CD为直径的圆过点E．

【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．

（1）直线l方程为，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程；

（2）假设存在符合题意的实数k，联立直线与椭圆方程得，再由根的判别式和根与系数的关系，结合向量的垂直进行求解即可．