2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

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一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
3．函数零点的涵义是（ ）
A．一个点B．函数图象与轴的交点的横坐标
C．函数图象与轴的交点D．函数图象与轴的交点的纵坐标
4．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．1
5．（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
7．“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
8．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．，
9．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
11．（ ）
A．2B．3C．1D．-3
12．在平行四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
13．已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
14．如图， 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB= AD=4，，则BD1=（ ）
A．6B．7C．10D．11
15．如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A．B．C．D．EO
16．口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为（ ）．
A．B．C．D．
17．数据的第80百分位数为（ ）
A．20B．22
C．24D．25
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A．B．C．D．
19．设向量，．若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
20．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）．
A．互斥B．互为对立
C．相互独立D．相等
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）
21．是虚数单位，则复数 .
22．中，角的对边分别为，已知，，，则 .
23．为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 分钟.

24．已知是三条不重合直线，是三个不重合平面，下列说法：
①，； ②，；
③，；④，；
⑤，；⑥，.
其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都填上）

三、解答题（本题共4小题，共28分）
25．如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，OA＝OB，且D，E，F分别为AC，BC，AB的中点．
（1）求证：平面AOB；
（2）求证：AB⊥平面OCF．
26．已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
27．阅读下面题目及其解答过程，并补全解答过程．
以上解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的，并填写在答题卡的指定位置．
28．俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.
(1)若，，求函数与的“偏差”；
(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值.已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数在上是减函数．
解答：（Ⅰ）当时，函数是奇函数．理由如下：
因为，
所以当时，①．
因为函数的定义域是，
所以，都有．
所以．
所以②．
所以函数是奇函数．
（Ⅱ）证明：任取，且，则③．
因为，
所以④．
所以⑤．
所以．
所以函数在上是减函数．
空格序号
选项
①
A．
B．
②
A．
B．
③
A．
B．
④
A．
B．
⑤
A．
B．