2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题含解析

2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.

【详解】集合,

故，

故选：D

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的几何表示即得.

【详解】∵复数z对应的点的坐标是，

∴.

故选：D.

3．（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】.

故选：B

4．已知函数，则（       ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

【答案】B

【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.

【详解】由题意，，即函数为偶函数.

故选：B.

5．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式即得.

【详解】由二倍角公式可得，.

故选：A.

6．函数的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合图象确定正确选项.

【详解】由图象可知，当时，.

故选：C

7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（       ）

A．0.24 B．0.14 C．0.06 D．0.01

【答案】C

【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.

【详解】依题意，两地都降雨的概率为.

故选：C

8．下列函数中，在区间上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.

【详解】在上单调递增，故A不符题意；

在上单调递减，故B符合题意；

在上单调递增，故C不符题意；

在上不单调，故D不符题意.

故选：B.

9．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为（       ）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】D

【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.

【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，

，则 为直角，

故可得： ,

故选：D

10．已知向量，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.

【详解】.

故选：B.

11．“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】若四边形是矩形，则它是平行四边形，

反之,若四边形为平行四边形，四边形不一定是矩形，

所以“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的充分不必要条件.

故选：A.

12．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由真数大于0可得.

【详解】由，得.

故选：A

13．如图，已知四边形为矩形，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.

【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知.

故选：C

14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．

从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（       ）

A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75

【答案】C

【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】根据图象可知，两个小组高于分的同学各有人，

所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是.

故选：C

15．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.

【详解】在正方体中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为，EF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.

故选：B

16．在中，，则（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据由余弦定理，可得，代入数据即得.

【详解】由余弦定理，得，

.

故选：D.

17．已知a，b是实数，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质确定正确答案.

【详解】由于，所以，A选项正确.

，BD选项错误.

，C选项错误.

故选：A

18．已知，且，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由基本不等式即可求得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.

故选：B.

19．已知函数，，则（       ）

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【答案】C

【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.

【详解】在上是增函数，

所以最小值为，没有最大值.

故选：C

20．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为，如，则（       ）

A．2022 B．2020 C．1011 D．1010

【答案】C

【分析】根据题意求出正奇数的个数即可.

【详解】由题意，不超过2022的正奇数有个.

故选：C.

二、填空题

21．计算：=___________．

【答案】1

【详解】.

故答案为1

22．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：

甲   8.1   7.9   8.0   7.9   8.1

乙   7.9   8.0   8.1   8.5   7.5

记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）．

【答案】

【分析】计算出，由此确定正确答案.

【详解】甲的得分平均值为，

.

乙的得分平均值为，

，

所以.

故答案为：

23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（），少数国家使用华氏温标（），两种温标间有如下对应关系：

根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：

①对应；

②对应；

③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．

其中所有正确推断的序号是_____________．

【答案】①②③

【分析】根据条件可得，然后逐项分析即得.

【详解】设摄氏温标为x ，对应的华氏温标为y ,

根据表格数据可知

∴，即，

∴时，，时，，故①②正确；

由，可得，即摄氏温标对应的华氏温标为，故③正确.

故答案为：①②③.

三、双空题

24．已知函数则________；方程的解为________．

【答案】     －2     1

【分析】根据分段函数的性质求解即可.

【详解】2×(－1)＝－2；

x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.

故答案为：－2；1.

四、解答题

25．已知函数（m是常数）的图象过点．

(1)求的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把点代入解析式可得，即得；

（2）利用一元二次不等式的解法即得.

(1)

由题意，，

所以．

所以的解析式为．

(2)

不等式等价于．

解得．

所以不等式的解集为．

26．已知函数．

(1)写出的最小正周期；

(2)求在区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；

（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值.

(1)

的最小正周期为：.

(2)

因为，所以．

当，即时，取得最大值．

27．阅读下面题目及其解答过程．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．

【答案】（Ⅰ）①A   ②B   ③B；（Ⅱ）④A   ⑤A

【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案.

【详解】要证明，可通过证明平面来证得，

要证明平面，可通过证明来证得，

所以①填A，②填B，③填B.

平面与平面的交线为，所以④填A，

由于平面，因为平面，且平面平面，

根据线面平行的性质定理可知，，所以⑤填A.

28．给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

解答下列问题：

（1）写出和的值；

（2）写出在上的单调区间；

（3）设，写出的零点个数．

【答案】答案详见解析

【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当时，的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意的定义域为，

当时，.

对于条件③，对任意，都有，

以替换，则，这与矛盾，所以条件③不合题意.

若选条件①，当时，，.

（1）.

（2）对于函数，

任取，

，

其中，当时，，，

所以在上递减.

当时，，，

所以在上递增.

所以在区间，.

同理可证得：在上递增，在上递减，.

当时，，

由上述分析可知，在上递增，在上递减.且.

（3），

由（2）的分析可画出的大致图象如下图所示，

所以，当或或时，的零点个数是0；

当或时，的零点个数是1；

当或时，的零点个数是2．

若选条件②，当时，，

由得，

（1）.

（2）对于函数，

根据上述分析可知：在上递减，在上递增，

且在区间，.

对于，任取，

.

其中.当时，，

递增；当时，，递减.

所以的增区间为，减区间为.且.

（3），

结合上述分析画出的大致图象如下图所示，

所以当时，的零点个数是0；当时，的零点个数是2．

【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.