2024年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（解析版）

这是一份2024年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（解析版），共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：90分钟；满分：100分）
一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．已知复数，则z的虚部为
【答案】/-0.5
【分析】由已知运用复数的四则运算化简，根据虚部的定义，即可求解.
【详解】，故虚部为.
故答案为：
2．已知集合，，则
【答案】/////
【分析】求出集合，计算即可.
【详解】由得，
解得，
所以，
又，
所以，
故答案为：
3．函数的最大值为
【答案】/1.5
【分析】先将原式化简，得到，进而可得其最大值．
【详解】因为，，
所以，当且仅当时，取得最大值．
故答案为：．
4．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为
【答案】
【分析】利用分层抽样各层比例相同列出方程，从而得解.
【详解】根据题意，设应抽取高一年级学生的人数为，
则，解得，
所以应抽取高一年级学生的人数为.
故答案为：.
5．函数的定义域是
【答案】
【分析】根据对数函数，真数大于零，即可求得答案．
【详解】由题意得真数大于零，则．
故答案为：
6．一元二次不等式的解集为
【答案】或
【分析】先分解因式，然后求解即可.
【详解】由，得，解得或，
所以不等式的解集为或；
故答案为：或
7．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为
【答案】/
【分析】利用古典概型概率的求法求解即可.
【详解】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个，
又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个，
所以取到白球的概率为.
故答案为：
8．已知向量，．若，则 .
【答案】0
【分析】根据平面向量坐标运算的线性运算求得，再根据向量平行的坐标关系，即可得的值.
【详解】解：向量，，
所以，
若，则，解得.
故答案为：0.
9．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2）
【答案】/
【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解.
【详解】因为，，
所以该扇形的弧长为（cm），
故该扇形的面积（cm2）．
故答案为：.
10．x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意.
【详解】利用三角不等式，有，当时等号成立
因为有解，只需即可,
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
11．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形.若，则该直三棱柱的体积为 .
【答案】24
【分析】根据直三棱柱的体积公式直接求解即可.
【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，
，则 为直角，
故可得：，
故答案为：24
12．已知，那么的值是 .
【答案】/
【分析】直接通过诱导公式进行化简求值即可
【详解】，.
故答案为：
二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；
13．幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.
【详解】幂函数定义域为，且，
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
又当时单调递减，则在上单调递增，
故符合题意的只有C.
故选：C
14．对任意，，，下列结论不成立的是（ ）
A．当m，时，有
B．当，时，若，则且
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D． 的必要不充分条件是
【答案】B
【分析】选项A运用复数乘法运算律即可得，选项B举反例即可说明；选项C共轭复数的模，利用必要不充分条件判断选项D即可.
【详解】由复数乘法的运算律知，A正确；
取，；，满足，但且，B错误；
令
则，C正确；
由能推出，但推不出，
例如,，但是
因此的必要不充分条件是，D正确.
故选：B.
15．若不等式，对于均成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由绝对值的几何意义知的最小值为5，或直接由三角不等式求出最小值，再结合题意可得实数a的取值范围.
【详解】解：方法一：由绝对值的几何意义知表示的是x与数轴上的点及两点距离之和，A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5，数轴上其它点到A、B两点距离之和都大于5，
，
要使，需，
故选：A.
方法二：由三角不等式，，
要使，需，
故选：A.
16．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（ ）
A．－10B．10C．5D．－5
【答案】A
【分析】构造新函数，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值．
【详解】设，则
∴，是奇函数，因此，
又，，
∴，．
故选：A．
17．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，在三角形中求解即可.
【详解】如图，连接，，则,

，分别是，的中点，
，
是异面直线与所成的角，且是等边三角形，
.
故选：.
18．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0B．0.3C．0.6D．0.4
【答案】D
【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可
【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8环的概率为，
故选：D
19．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求解集，再根据充分、必要性定义判断关系.
【详解】由，可得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
20．复数（数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算先化简，进而由几何意义即可求解.
【详解】复数 ​.
在复平面上所对应的点为，故位于第四象限.
故选：D​
21．在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据空间中线面，面面位置关系逐项判断，即可求出结果.
【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则或与相交，故C错误；
若，则或与相交，故D错误.
故选：B.
22．已知向量，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.
【详解】.
故选：B.
23．已知a，b是实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质确定正确答案.
【详解】由于，所以，A选项正确.
，BD选项错误.
，C选项错误.
故选：A
24．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为，如，则（ ）
A．2022B．2020C．1011D．1010
【答案】C
【分析】根据题意求出正奇数的个数即可.
【详解】由题意，不超过2022的正奇数有个.
故选：C.
25．已知，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.
故选：B.
26．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2B．
C． D．4
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴，
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时等号成立．
故选：D.
三、解答题：本大题共2小题，共22分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤
27．（本题满分10分）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．
(1)求证：平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）∵PA为圆柱母线，
∴平面ACB，
∵平面，
∴，
∵AB为底面圆直径，∴，
∵平面APC，平面APC，，
∴平面PAC.
（2）∵平面APC，平面平面APC，
∴平面ACM，BC为三棱锥的高，，
∵，M为PC中点，
∴，，，
∴.
28．（本题满分12分）
已知向量函数；
(1)若，求的值；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角恒等变换和同角三角函数的关系求解；(2)利用三角函数的图象性质求函数在指定区间内的值域.
【详解】（1）∵，
∴
∵，即，∴，
∴＝.
（2）
当，即时，；
当，即时，，
∴当时，函数的值域为．